Question

16．如圖所示，傾角為37⁰的光滑導(dǎo)軌，頂端離地H=1.45m，下端通過一小段光滑圓弧與內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)管做成的圓環(huán)軌道相接于最低端B．整個(gè)裝置由豎直平面內(nèi)的若干個(gè)相同圓環(huán)組成，第一個(gè)圓環(huán)記作0號(hào)，第二個(gè)圓環(huán)記作1號(hào)，其余依此類推．已知圓環(huán)半徑為0.5m，間距為x₀=1m，軌道水平段的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.2．一質(zhì)量m=0.5kg的小球在傾斜導(dǎo)軌頂端A點(diǎn)以v₀=2m/s速度水平發(fā)射，在落到傾斜導(dǎo)軌上P點(diǎn)后即沿軌道運(yùn)動(dòng)（P點(diǎn)在圖中未畫出）．（g=10m/s²）求：
（1）小球落到傾斜導(dǎo)軌上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離．
（2）小球落到軌道上后只保留沿斜面方向的速度v=3.4m/s平行軌道繼續(xù)滑行，小球能通過第幾號(hào)圓環(huán)軌道；
（3）小球最終停在什么位置？

Answer 1

分析 （1）小球水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，聯(lián)立兩個(gè)公式，即可求出落到斜面上的落點(diǎn)離斜面頂端的距離；
（2）小球在通過豎直放置的圓軌道時(shí)，只要通過最高點(diǎn)的速度大于0即可，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求出；
（3）當(dāng)小球不能通過第n個(gè)環(huán)時(shí)，將沿軌道返回最低點(diǎn)，然后向第n-1和圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，由于需要克服摩擦力做功，所以環(huán)更不能通過n-1圓環(huán)的最高點(diǎn)，之后再次返回并向第n個(gè)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，依此類推可知，小球最后將停在第n-1個(gè)圓環(huán)與低n個(gè)圓環(huán)之間，由動(dòng)能定理即可求出小球通過的總路程，然后結(jié)合幾何關(guān)系求出小球最終停止的位置．

解答 解：（1）小球飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$   ①
水平方向：x=v₀t             ②
它們之間的關(guān)系：tan37°=$\frac{y}{x}$   ③
聯(lián)立①②③式，得飛行時(shí)間  t=0.3 s   
落點(diǎn)的x坐標(biāo)：x₁=v₀t=2×0.3=0.6 m
落點(diǎn)離斜面頂端的距離：${s}_{1}=\frac{{x}_{1}}{cosθ}=\frac{0.6}{0.8}=0.75$m
（2）小球在做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)豎直方向的位移：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{3}^{2}=0.45$m
由機(jī)械能守恒可知，小球通過B點(diǎn)的速度：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg（H-y）$
代入數(shù)據(jù)得：v_B=5.62m/s
小球在圓環(huán)的軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以只要通過最高點(diǎn)的速度大于0即可．設(shè)小球恰好能通過第n個(gè)小球，由于小球只有在水平面上運(yùn)動(dòng)的過程中才受到摩擦力，所以小球在水平面上通過的路程為s，則s=nx₀
由動(dòng)能定理得：$-μmg•s-mg•2R=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)整理得：n=2.89＜3
所以小球能通過第2個(gè)圓環(huán)，不能通過第三個(gè)圓環(huán)
（3）小球從B點(diǎn)開始在水平面上受到摩擦力的作用，摩擦力做功，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，設(shè)小球通過的最大路程為s_m，由功能關(guān)系得：
$-μmg{s}_{m}=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s_m=7.89m
由題干圖可知，小球通過第2個(gè)圓環(huán)后，在水平方向以及發(fā)生的位移是2.0m，所以小球在第2個(gè)圓環(huán)與第3個(gè)圓環(huán)之間的路程為：
s₀=s_m-2=7.89-2=5.89m
由于x₀=1m，所以小球只能在第2個(gè)圓環(huán)與第3個(gè)圓環(huán)之間往返2次，最終小球停止的位置到第2個(gè)圓環(huán)的最低點(diǎn)之間的距離：
L=3×2x₀-s₀=3×2×1-5.89=0.11m
答：（1）小球落到傾斜導(dǎo)軌上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離是0.75m．
（2）小球落到軌道上后只保留沿斜面方向的速度v=3.4m/s平行軌道繼續(xù)滑行，小球能通過第2號(hào)圓環(huán)軌道；
（3）小球最終停在到第2個(gè)圓環(huán)的最低點(diǎn)之間的距離0.11m的位置．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及平拋運(yùn)動(dòng)、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)以及動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，解答的關(guān)鍵是小球在圓環(huán)的軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以只要通過最高點(diǎn)的速度大于0即可，若小球不能到達(dá)最高點(diǎn)，則能夠沿圓環(huán)的軌道返回，而不會(huì)離開軌道．