Question

17．如圖，在離地面高h(yuǎn)的O點(diǎn)用長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)線懸掛質(zhì)量為m的小球，小球靜止在最低點(diǎn)．給小球一個(gè)水平初速度，小球恰好能夠在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）求小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v₀以及此時(shí)輕質(zhì)細(xì)繩上的拉力；
（2）小球再次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由于外部作用輕質(zhì)細(xì)線斷開（細(xì)線斷開前后速度不變），小球落到地面上的A點(diǎn)離O點(diǎn)正下方O′點(diǎn)距離為s，求當(dāng)l取何值時(shí)，s最大，并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能夠在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力恰好提供向心力，由此求出最高點(diǎn)的速度，小球擺到最低點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此求出最低點(diǎn)的速度，由重力和拉力的合力提供向心力求出小球擺到最低點(diǎn)時(shí)的拉力；
（2）細(xì)線被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求解小球落地處到地面上水距離，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)即可求解．

解答 解：（1）小球恰好能夠在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則：$mg=\frac{m{v}_{m}^{2}}{l}$
最高點(diǎn)到最低點(diǎn)：$\frac{m{v}_{m}^{2}}{2}+2mgl=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在最低點(diǎn)，繩子的拉力和重力提供向心力，得：F-mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{l}$
得：${v}_{0}=\sqrt{5gl}$，F(xiàn)=6mg
（2）繩子斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有：
h-l=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移大�。簒=v₀t
當(dāng)l=$\frac{1}{2}$h時(shí)，水平位移最大，最大值為：s_max=$\sqrt{\frac{5gl}{2}}$
答：（1）小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{5gl}$，輕質(zhì)細(xì)繩上的拉力是6mg；
（2）當(dāng)l取$\frac{1}{2}h$值時(shí)，s最大，其最大值為$\sqrt{\frac{5gl}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力知識(shí)、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要準(zhǔn)確分析向心力的來(lái)源，熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)．