Question

如圖15(甲)所示,長為l、相距為d的兩塊正對的平行金屬板AB和CD與一電源相連(圖中未畫出電源),B、D為兩板的右端點(diǎn).兩板間電壓的變化如圖15(乙)所示.在金屬板B、D端的右側(cè)有一與金屬板垂直的熒光屏MN,熒光屏距B、D端的距離為l.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以相同的初速度v₀從極板左邊中央沿平行極板的直線OO′連續(xù)不斷地射入.已知所有的電子均能夠從金屬板間射出,且每個(gè)電子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與電壓變化的周期相等.忽略極板邊緣處電場的影響,不計(jì)電子的重力以及電子之間的相互作用.求:

   

(甲) (乙)

圖15

(1)t=0和t=T/2時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)金屬板B、D端界面時(shí)偏離OO′的距離之比.

(2)兩板間電壓U₀的最大值.

(3)電子在熒光屏上分布的最大范圍.

Answer 1

(1)1∶3　(2)  (3) 

解析：(1)t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子先沿OO′方向做勻速運(yùn)動(dòng),即有v₀=T2=l2,而后在電場力作用下做類平拋運(yùn)動(dòng),在垂直于OO′方向做勻加速運(yùn)動(dòng),設(shè)到達(dá)B、D端界面時(shí)偏離OO′的距離為y₁,則?

t=T/2時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子先在T/2時(shí)間內(nèi)做拋物線運(yùn)動(dòng)到達(dá)金屬板的中央,而后做勻速直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)金屬板B、D端界面.設(shè)電子到達(dá)金屬板的中央時(shí)偏離OO′的距離為y₂,將此時(shí)電子的速度分解為沿OO′方向的分量v₀與沿電場方向的分量v_E,并設(shè)此時(shí)刻電子的速度方向與OO′的夾角為θ,電子沿直線到達(dá)金屬板B、D端界面時(shí)偏離OO′的距離為y₂′,則有

因此,y₁∶y₂′=1∶3.

(2)在t=(2n+1)T/2(n=0,1,2,…)時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子在離開金屬板時(shí)偏離OO′的距離最大,因此為使所有進(jìn)入金屬板間的電子都能夠飛出金屬板,應(yīng)滿足的條件為y₂′≤,解得板間電壓的最大值.

(3)設(shè)t=nT(n=0,1,2,…)時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₁;t=(2n+1)T/2(n=0,1,2,…)時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₂,電子到達(dá)熒光屏上分布在ΔY=Y₂-Y₁范圍內(nèi).當(dāng)滿足y₂′=d2的條件時(shí),ΔY為最大.根據(jù)題中金屬板和熒光屏之間的幾何關(guān)系,得到

因此電子在熒光屏上分布的最大范圍為ΔY=Y₂-Y₁=y₂′-y₁=.