Question

6．如圖所示，從 A點以v₀的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點），當小物塊運動至B點時，恰好沿切線方向進入固定的光滑圓弧軌道BC，圓弧軌道BC的圓心角α=37°經(jīng)圓孤軌道后滑上與C點等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點距C點的高度分別為H=0.6m、h=0.15m，小物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，Cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）小物塊水平拋出時，初速度v₀的大�。�
（2）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力大小；
（3）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運動的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運動運動，在C點時軌道支持力和重力的合力提供圓周運動的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長木板上滑動時，物塊的位移-長木板的位移應該小于等于長木板的長度這一臨界條件展開討論即可．

解答 解：
（1）設小物塊做平拋運動的時間為t，則有：
H-h=$\frac{1}{2}$gt²
設小物塊到達B點時豎直分速度為v_y：v_y=gt，
由以上兩式解得：v_y=3 m/s      
由題意，速度方向與水平面的夾角為37°，tan 37°=$\frac{v_y}{v_0}$，解得v₀=4 m/s    
則小物塊運動到B點時的速度
v₁=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=5 m/s
（2）設小物塊到達C點時速度為v₂，從B至C點，由動能定理得$mgh=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
設C點受到的支持力為F_N，則有
F_N-mg=$\frac{mv_2^2}{R}$（1分）
由幾何關系得Cosθ=$\frac{R-h}{R}$
由上式可得R=0.75m，v₂=2$\sqrt{7}$ m/s，F(xiàn)_N=47.3 N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊對圓弧軌道C點的壓力大小為47.3 N     
（3）由題意可知小物塊對長木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
長木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力
F_f′2=μ₂（M+m）g=10 N
因F_f1＜F_f′2，所以小物塊在長木板上滑動時，長木板靜止不動             
設小物塊在長木板上做勻減速運動，至長木板最右端時速度剛好為0
則長木板長度為l=$\frac{v_2^2}{{2{μ_1}g}}$=2.8 m
所以長木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長木板．              
答：（1）小物塊水平拋出時，初速度v₀的大小5 m/s；
（2）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力大小47.3 N；
（3）長木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長木板

點評 本題關鍵要理清物塊在多個不同運動過程中的運動規(guī)律，掌握物塊各個階段的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．