Question

如圖所示，空間勻強電場的場強大小為E、方向沿著負y方向，勻強磁場的磁感應強度大小為B、方向垂直xoy平面指向紙內(nèi)．有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子（不計重力），從O點出發(fā)開始計時，沿+x方向以初速度v₀=

2E

B

射入場區(qū)．求：
（1）帶電粒子能夠到達離x軸最遠的距離
（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時間內(nèi)，粒子沿x軸運動的距離
（3）在t=

2πm

Bq

時刻撤去電場，粒子在以后的運動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數(shù)）．則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，從而求出半徑大小，而離x軸最遠距離為直徑；
（2）根據(jù)周期公式，從而可求出沿x軸運動的距離S；
（3）根據(jù)牛頓第二定律與運動學公式，及洛倫茲力公式，從而得出表達式，并用微元法來求和，即可求解．

解答：解：帶電粒子在復合場中的運動可看成是兩個分運動的合運動：一個是沿+x軸以速度v₁作勻速直線運動；
一個是在xoy平面內(nèi)受洛侖茲力作用以速率v₂做勻速圓周運動．
由Bqv₁=qE
知：v₁=

E

B

，
v₂=v₀-v₁=

E

B

．
（1）設帶電粒子以速率v₂在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，
由Bqv2=m

v 2 2

R

   
得R=

mv2

Bq

=

Em

B2q

 
帶電粒子能夠到達離x軸最遠的距離y_m=2R=

2mE

B2q

（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時間內(nèi)，粒子沿x軸運動的距離S=v1t=

2πmE

B2q

（3）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=

2πm

Bq

當t=

2πm

Bq

=T時，帶電粒子恰好回到x軸處，分運動的速度v₁與v₂的方向相同，
此時帶電粒子的速度仍為v₀，方向沿+x方向．
撤去電場后，帶電粒子受洛侖茲力和阻力作用，且洛侖茲力與阻力始終垂直．
設某瞬時的速度為v，加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律

(Bqv)2+f2

=ma  
 即 a=

(Bqv)2+(kv)2

m

 
取微小時間△t，速度變化量為
△v=a△t=

B2q2+k2

m

v△t
v△t=

m△v

B2q2+k2

則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小
S=v△t=

m△v

B2q2+k2

=

mv0

B2q2+k2

答：（1）帶電粒子能夠到達離x軸最遠的距離

2mE

B2q

（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時間內(nèi)，粒子沿x軸運動的距離

2πmE

B2q

．
（3）在t=

2πm

Bq

時刻撤去電場，粒子在以后的運動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數(shù)）．則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小為

mv0

B2q2+k2

．

點評：考查用運動的合成與分解處理帶電粒子在復合場的一般的曲線運動，以及微量求和的思想方法．
要點：如何將一般的曲線運動分解兩個簡單的分運動；帶電粒子在勻強磁場中僅受洛侖茲力作用的運動規(guī)律；牛頓第二定律的矢量表達式在曲線運動中的應用．
如果是求路程，則應為：a△t=

k

m

△x，v0-0=

ks

m

．