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如圖所示,在圓柱形屋頂中心天花板上的O點,掛一根L=3m釣細繩,繩的下端掛一個質量為m=0.5kg的小球,已知繩能承受的最大拉力為l0N.小球在水平面內做圓周運動,當速度逐漸增大到繩斷裂后,小球以v=9m/s的速度落在墻邊.求這個圓柱形屋頂的高度H和半徑R.(g取10m/s2
分析:設繩與豎直方向夾角為θ,則cosθ=
mg
T
=
1
2
,所以θ=60°,小球在繩子斷開后做平拋運動,根據豎直方向做自由落體運動求出下落的高度,根據幾何關系即可求得H,
根據向心力公式求出繩斷時的速度,進而求出水平位移,再根據幾何關系可求R.
解答: 解:如圖(1)所示,取小球為研究對象,設繩剛要斷裂時細繩的拉力大小為T,繩與豎直方向夾角為α,則在豎直方向有:
  Fcosα=mg,所以cosθ=
mg
T
=
1
2
,所以θ=60°                                                  
  球做圓周運動的半徑r=Lsin60°=3×
3
2
m
=
3
3
2
m
,
  O、O′間的距離為:OO′=Lcos60°=1.5m,
  則O′、O″間的距離為O′O″=H-OO′=H-1.5m.
  由牛頓第二定律知
  Tsinθ=m
vA2
r

    解得:vA=
Frsinθ
m
=3
5
m/s

  設在A點繩斷,細繩斷裂后小球做平拋運動,落在墻邊C處.
  設A點在地面上的投影為B,如答圖(2)所示.
    由運動的合成可知:v2=vA2+(gt)2,
  由此可得小球平拋運動的時間
  t=
v2-vA2
g
=0.6s                                                             
  由平拋運動的規(guī)律可知小球在豎置方向上的位移為sy=
1
2
gt2=H-1.5m,
  所以屋的高度為H=
1
2
gt2+1.5m=
1
2
×10×0.62m+1.5m=3.3m,
  小球在水平方向上的位移為sx=BC=vAt=
9
5
5
m
  由圖可知,圓柱形屋的半徑為R=
r2+(BC)2
=4.8m
答:這個圓柱形屋頂的高度H為3.3m,半徑R為4.8m.
點評:本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用,要求同學們能畫出小球運動的軌跡,能結合幾何關系解題,難度適中.
練習冊系列答案
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