Question

如圖所示，一半徑為、折射率為的玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為的區(qū)域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個(gè)表面．為以球心為原點(diǎn)，與平而垂直的坐標(biāo)軸．通過計(jì)算，求出坐標(biāo)軸上玻璃半球右邊有光線通過的各點(diǎn)（有光線段）和無光線通過的各點(diǎn)（無光線段）的分界點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

圖復(fù)解20-4-1中畫出的是進(jìn)入玻璃半球的任一光線的光路（圖中陰影處是無光線進(jìn)入的區(qū)域），光線在球面上的入射角和折射角分別為和，折射光線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在。令軸上的距離為，的距離為，根據(jù)折射定律，有

                                                        （1）

在中

                                  （2）

                          （3）

由式（1）和式（2）得

                          

再由式（3）得

    

設(shè)點(diǎn)到的距離為，有

                         

得

                   （4）

解式（4）可得

                    （5）

為排除上式中應(yīng)舍棄的解，令，則處應(yīng)為玻璃半球在光軸上的傍軸焦點(diǎn)，由上式

由圖可知，應(yīng)有，故式（5）中應(yīng)排除±號中的負(fù)號，所以應(yīng)表示為

                    （6）

上式給出隨變化的關(guān)系。

因?yàn)榘肭蚱奖砻嬷行挠型亢诘拿娣e，所以進(jìn)入玻璃半球的光線都有，其中折射光線與軸交點(diǎn)最遠(yuǎn)處的坐標(biāo)為

                      （7）

在軸上處，無光線通過。

隨增大，球面上入射角增大，當(dāng)大于臨界角時(shí)，即會(huì)發(fā)生全反射，沒有折射光線。與臨界角相應(yīng)的光線有

              

這光線的折射線與軸線的交點(diǎn)處于

                                            （8）

在軸上處沒有折射光線通過。

由以上分析可知，在軸上玻璃半球以右

                                                      （9）

的一段為有光線段，其它各點(diǎn)屬于無光線段。與就是所要求的分界點(diǎn)，如圖復(fù)解20-4-2所示

                                                       

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

求得式（7）并指出在軸上處無光線通過，給10分；求得式（8）并指出在軸上處無光線通過，給6分；得到式（9）并指出上有光線段的位置，給4分。