Question

9．如圖所示，在豎直平面的xOy坐標(biāo)系內(nèi)，一根長(zhǎng)為l的不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，一端固定在拉力傳感器A上，另一端系一質(zhì)量為m的小球．x軸上的P點(diǎn)固定一個(gè)表面光滑的小釘，P點(diǎn)與傳感器A相距$\frac{3}{4}$l．現(xiàn)拉小球使細(xì)繩繃直并處在水平位置，然后由靜止釋放小球，當(dāng)細(xì)繩碰到釘子后，小球可以繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．已知小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)拉力傳感器的示數(shù)為6mg，重力加速度大小為g，求：
（1）小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v及傳感器A與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離h；
（2）若小球繞P點(diǎn)一周（不計(jì)繩長(zhǎng)變化），再次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩子恰好斷開(kāi)，請(qǐng)確定小球經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)位置．

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，由重力和細(xì)繩拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求速度v；小球向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒求距離h．
（2）繩子恰好斷開(kāi)小球從最低點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．

解答 解：（1）小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
由題意可知 R=$\frac{l}{4}$…②
聯(lián)立解得 v=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$…③
根據(jù)機(jī)械能守恒得得：
  mg（h+$\frac{l}{4}$）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…④
解得 h=$\frac{3}{8}$l…⑤
（2）由幾何關(guān)系有 x_op=$\sqrt{（\frac{3}{4}l）^{2}-{h}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$l…⑥
斷開(kāi)后做平拋運(yùn)動(dòng)，故 x_op=vt…⑦
 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑧
解得 y=$\frac{27l}{160}$…⑨
小球離開(kāi)y軸時(shí)的縱坐標(biāo)為-（$\frac{27l}{160}$+$\frac{l}{4}$）=-$\frac{67l}{160}$…⑩
即小球離開(kāi)y軸的坐標(biāo)為（0，-$\frac{67l}{160}$）．
答：（1）小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$，傳感器A與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離h是$\frac{3}{8}$l；
（2）小球經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)位置是（0，-$\frac{67l}{160}$）．

點(diǎn)評(píng) 小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意，小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，由重力和拉力的合力提供向心力．