(2013?浙江模擬)如圖所示,三個同心圓是磁場的理想邊界,圓1半徑R1=R、圓2半徑R2=3R、圓3半徑R3(R3>R2)大小未定,圓1內(nèi)部區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無場區(qū),圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B.兩個區(qū)域磁場方向均垂直于紙面向里.t=0時一個質(zhì)量為m,帶電量為+q(q>0)的離子(不計(jì)重力),從圓1上的A點(diǎn)沿半徑方向以速度v=
3
qBR
m
飛進(jìn)圓1內(nèi)部磁場.問:
(1)離子經(jīng)多長時間第一次飛出圓1?
(2)離子飛不出環(huán)形磁場圓3邊界,則圓3半徑R3至少為多大?
(3)在滿足了(2)小題的條件后,離子自A點(diǎn)射出后會在兩個磁場不斷地飛進(jìn)飛出,從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動的總時間為多少?
(4)在同樣滿足了(2)小題的條件后,若環(huán)形磁場方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲,其它條件不變,從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動的路徑總長為多少?
分析:(1)根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑,結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角,結(jié)合周期公式求出粒子飛出圓1經(jīng)歷的時間.
(2)作出粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡,根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑,結(jié)合幾何關(guān)系求出圓3半徑R3的最小值.
(3)作出粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡,通過粒子在圓2和圓3之間的運(yùn)動圓弧對應(yīng)的圓心角為240°,結(jié)合周期公式求出運(yùn)動的時間,抓住離子第二次回到A點(diǎn),離子在圓1內(nèi)磁場中運(yùn)動共6次.在無磁場區(qū)中直線運(yùn)動共12次求出運(yùn)動的總時間.
(4)作出粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡,從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn),離子在圓1內(nèi)磁場中運(yùn)動共2次,離子在環(huán)形磁場中運(yùn)動共2次,離子在無磁場區(qū)中直線運(yùn)動共4次,結(jié)合幾何關(guān)系求出離子運(yùn)動的路徑.
解答:解:(1)由qvB=m
v2
r1

r1=
3
R

如右圖1所示,根據(jù)幾何關(guān)系得,粒子在圖1中運(yùn)動圓弧對應(yīng)的圓心角為60°
解得t1=
60
360
?
2πm
qB
=
πm
3qB

(2)依題意離子在環(huán)形磁場軌跡與圓3相切時對應(yīng)的就是半徑最小值,如右圖2所示.
由于兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同,有:r2=r1=
3
R

由圖中的幾何關(guān)系得,
R22+r22
+r2=R3

解得R3=3
3
R

(3)根據(jù)幾何關(guān)系,離子在圓2和圓3之間的運(yùn)動圓弧對應(yīng)的圓心角為240°.
解得t2=
240
360
?
2πm
qB
=
4πm
3qB

如下左圖所示,(只畫了重復(fù)單程,這樣的單程重復(fù)總共需6次)
從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn),離子在圓1內(nèi)磁場中運(yùn)動共6次.
離子在環(huán)形磁場中運(yùn)動共6次,離子在無磁場區(qū)中直線運(yùn)動共12次.
在無場區(qū)離子直線單程的時間t3=
2
3
m
3qB

總時間t=6t1+6t2+12t3=(10π+8
3
)
m
qB

(4)如下右圖所示.(只畫了重復(fù)單程,這樣重復(fù)單程共需2次)
從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn),離子在圓1內(nèi)磁場中運(yùn)動共2次;
離子在環(huán)形磁場中運(yùn)動共2次,離子在無磁場區(qū)中直線運(yùn)動共4次.
路徑總長s=(
10
3
π
3
+8)R

答:(1)離子經(jīng)
πm
3qB
第一次飛出圓1.
(2)離子飛不出環(huán)形磁場圓3邊界,則圓3半徑R3至少為R3=3
3
R

(3)從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動的總時間為(10π+8
3
)
m
qB

(4)從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn),離子運(yùn)動的路徑總長為(
10
3
π
3
+8)R
點(diǎn)評:處理帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題,關(guān)鍵作出運(yùn)動的軌跡,確定圓心和半徑,結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解.
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