Question

13．如圖所示，在光滑水平面左右兩側各有一豎直彈性墻壁P、Q，平板小車A的左側固定一擋板D，小車和墊板的總質量M=2kg，小車上表面O點左側光滑，右側粗糙．一輕彈簧左端與擋板相連，時右端在O點．質量m=1kg的物塊B在O點貼著彈簧右端放置，但不與彈簧連接，B與O點右側平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．現(xiàn)將小車貼著P固定，有水平恒力F推B向左移動x₀=0.1m距離時撤去推力，B繼續(xù)向左運動，最終停在O點右側x₁=0.9m處，取重力加速度g=10m/s²，彈簧在彈性限度內．

（1）求水平恒力F的大小及彈簧的最大彈性勢能E_p；
（2）撤去小車A的固定限制，以同樣的力F推B向左移動x₀時撤去推力，發(fā)現(xiàn)A與Q發(fā)生第一次碰撞前A、B已經(jīng)達到共同速度，求最初A右端與Q間的最小距離s₀；
（3）在（2）的情況下，求B在O點右側運動的總路程s及運動過程中B離開O點的最遠距離x（車與墻壁碰撞后立即以原速率彈回）．

Answer 1

分析 （1）小車貼著P固定，對全過程研究，根據(jù)動能定理列式，可求出F．再由功能關系求彈簧的最大彈性勢能E_p；
（2）撤去小車A的固定限制，B離開彈簧后，B做減速運動，A做加速運動，根據(jù)牛頓第二定律求出兩者的加速度，根據(jù)速度相等的條件列式，求出時間，再由位移公式求解最小距離s₀；
（3）最終A、B都停止運動，機械能轉化為內能，由功能關系求B在O點右側運動的總路程s．根據(jù)速度關系，由速度公式求出時間，再求解運動過程中B離開O點的最遠距離x．

解答 解：（1）取全過程研究，根據(jù)動能定理有：Fx₀-μmgx₁=0
代入數(shù)據(jù)解得：F=45N
由功能關系得：Fx₀=E_p
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=4.5J
（2）設B運動到O點的速度為v₀，根據(jù)機械能守恒定律有：E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²
接著B減速，設加速度大小為a₁，根據(jù)牛頓第二定律有：μmg=ma₁；
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=5m/s²；
A加速，設加速度大小為a₂，根據(jù)牛頓第二定律有：μmg=Ma₂；
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=2.5m/s²；
設運動的共同速度為v₁，則 v₁=v₀-a₁t₁，v₂=a₂t₁，
t₁時間內A運動的距離即為最小距離為：s₀=$\frac{1}{2}$a₂t₁²
代入數(shù)據(jù)解得：s₀=0.2m
（3）最終A、B都停止運動，機械能轉化為內能，由功能關系得：E_p=μmgs
代入數(shù)據(jù)解得：s=0.9m
A與Q第一次碰撞前B距離O點的距離為：△s₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²-$\frac{1}{2}$a₂t₁²
A被Q反彈后瞬間向左速度大小為v₁，B以大小為v₁的速度向右減速，且B的加速度大小仍是 a₁=5m/s²，方向向左；A的加速度仍為a₂=2.5m/s²，方向向右，達到共同速度v₂前B相對A一直向右運動，則：
  v₂=v₁-a₁t₂，v₂=-v₁+a₂t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=$\frac{4}{15}$s，v₂=-$\frac{1}{3}$m/s
這段時間內B相對A向右移動距離為：△s₂=（v₁t₂-$\frac{1}{2}$a₁t₂²）-（-v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²）
此時B離開O點的最遠距離為：x=△s₁+△s₂；
代入數(shù)據(jù)解得：x=0.87m
答：（1）水平恒力F的大小是45N，彈簧的最大彈性勢能是45J；
（2）最初A右端與Q間的最小距離是0.2m；
（3）B在O點右側運動的總路程s是0.9m，運動過程中B離開O點的最遠距離是0.87m．

點評 本題的關鍵理清物體的運動過程，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合分析，分析時要抓住隱含的臨界條件，如速度關系．第2小題，也可以根據(jù)動量守恒定律和動能定理結合解答．