Question

9．有人設(shè)想：可以在飛船從運(yùn)行軌道進(jìn)入返回地球程序時(shí)，借飛船需要減速的機(jī)會，發(fā)射一個(gè)小型太空探測器，從而達(dá)到節(jié)能的目的．如圖所示，飛船在圓軌道Ⅰ上繞地球飛行，其軌道半徑為地球半徑的k倍（k＞1）．當(dāng)飛船通過軌道Ⅰ的A點(diǎn)時(shí)，飛船上的發(fā)射裝置短暫工作，將探測器沿飛船原運(yùn)動方向射出，并使探測器恰能完全脫離地球的引力范圍，即到達(dá)距地球無限遠(yuǎn)時(shí)的速度恰好為零，而飛船在發(fā)射探測器后沿橢圓軌道Ⅱ向前運(yùn)動，其近地點(diǎn)B到地心的距離近似為地球半徑R．以上過程中飛船和探測器的質(zhì)量均可視為不變．已知地球表面的重力加速度為g．
（1）求飛船在軌道Ⅰ運(yùn)動的速度大��；
（2）若規(guī)定兩質(zhì)點(diǎn)相距無限遠(yuǎn)時(shí)引力勢能為零，則質(zhì)量分別為M、m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)的引力勢能E_p=-$\frac{GMm}{r}$，式中G為引力常量．在飛船沿軌道Ⅰ和軌道Ⅱ的運(yùn)動過程，其動能和引力勢能之和保持不變；探測器被射出后的運(yùn)動過程中，其動能和引力勢能之和也保持不變．
①求探測器剛離開飛船時(shí)的速度大��；
②已知飛船沿軌道Ⅱ運(yùn)動過程中，通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比．根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明為實(shí)現(xiàn)上述飛船和探測器的運(yùn)動過程，飛船與探測器的質(zhì)量之比應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）飛船在軌道Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力等于向心力列式；在地面，根據(jù)重力等于萬有引力列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）①探測器飛行過程中動能和勢能之和守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可；
②發(fā)射探測器過程中，探測器和飛船系統(tǒng)的動量守恒，根據(jù)守恒定律列式；飛船運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式；再根據(jù)飛船通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比列式；最后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，探測器質(zhì)量為m'，當(dāng)飛船與探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動時(shí)的速度為v₀
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
 $\frac{GM（m+m'）}{{{{（kR）}^2}}}=（m+m'）\frac{v_0^2}{kR}$
對于地面附近的質(zhì)量為m₀的物體有：
m₀g=$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}$
解得：
${v_0}=\sqrt{\frac{gR}{k}}$
（2）①設(shè)探測器被發(fā)射出時(shí)的速度為v'，因其運(yùn)動過程中動能和引力勢能之和保持不變，所以探測器剛好脫離地球引力應(yīng)滿足：
$\frac{1}{2}m'{v'^2}-\frac{GMm'}{kR}=0$
解得：
$v'=\sqrt{\frac{2GM}{kR}}=\sqrt{2}{v_0}=\sqrt{\frac{2gR}{k}}$
②設(shè)發(fā)射探測器后飛船在A點(diǎn)的速度為v_A，運(yùn)動到B點(diǎn)的速度為v_B，因其運(yùn)動過程中動能和引力勢能之和保持不變，所以有：
$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}mv_A^2-\frac{GMm}{kR}$
對于飛船發(fā)射探測器的過程，根據(jù)動量守恒定律有：
（m+m'）v₀=mv_A+m'v'
因飛船通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比，即：
Rv_B=kRv_A
解得：
$\frac{m}{m'}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{1-\sqrt{\frac{2}{k+1}\;}}}$
答：（1）飛船在軌道Ⅰ運(yùn)動的速度大小為$\sqrt{\frac{gR}{k}}$；
（2）①求探測器剛離開飛船時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2gR}{k}}$；
②為實(shí)現(xiàn)上述飛船和探測器的運(yùn)動過程，飛船與探測器的質(zhì)量之比應(yīng)滿足條件為$\frac{m}{m′}=\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2}{k+1}\\;}}$．

點(diǎn)評 本題第一問比較基礎(chǔ)，根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力等于向心力、地面物體的重力等于萬有引力列式求解；第二問要綜合運(yùn)用動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律列式求解，關(guān)鍵理清過程的運(yùn)動情況和能量與動量情況．