Question

13．如圖所示，在直角坐標系xOy的第一象限中兩個相同的直角三角形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內分別充滿了方向相反、磁感應強度大小均為B的勻強磁場，已知C點坐標為（$\sqrt{3}$l，l），質量為m，帶電荷量為q的正電荷從A（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$l，l）點以一定的速度平行于y方向垂直進入磁場，并從x軸上的D點（圖中未畫出）垂直x軸離開磁場，電荷重力不計．
  （1）求D點的位置坐標及電荷進入磁場區(qū)域Ⅰ時的速度大小v；
  （2）若將區(qū)域Ⅱ內的磁場換成沿-x軸方向的勻強電場，該粒子仍從A點以原速度進入磁場區(qū)域Ⅰ，并最終仍能垂直x軸離開，求勻強電場的場強E．

Answer 1

分析 （1）作出粒子的運動軌跡，結合粒子運動的對稱性得出D點的位置坐標．根據(jù)幾何關系求出粒子做圓周運動的半徑，結合洛倫茲力提供向心力求出速度的大�。�
（2）作出粒子的運動軌跡，逆過來看，粒子在電場中做類平拋運動，結合運動學公式和牛頓第二定律求出勻強電場的場強．

解答 解：（1）根據(jù)粒子運動的對稱性可知，粒子從OC的中點O′進入磁場區(qū)域Ⅱ，且AC=OD，
則D的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，0）．

設粒子在磁場中運動的半徑為r，在磁場Ⅰ中的軌跡所對的圓心角為θ，根據(jù)幾何關系可知，
$rsinθ=\frac{1}{2}l$，$r-rcosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}l-\frac{\sqrt{3}}{3}l$，
解得$θ=\frac{π}{3}$，$r=\frac{\sqrt{3}}{3}l$．

粒子在磁場中做圓周運動，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，速度大小v=$\frac{qBr}{m}$，故v=$\frac{\sqrt{3}qBl}{3m}$．
（2）設粒子在電場中運動時間為t，加速度大小為a，則根據(jù)運動的分解可知，在x軸方向：
0-vsinθ=-at，
則y軸方向：$vtcosθ=\frac{1}{2}l$，
其中qE=ma，
聯(lián)立解得E=$\frac{\sqrt{3}qBl}{6m}$．
答：（1）D點的位置坐標及電荷進入磁場區(qū)域Ⅰ時的速度大小為$\frac{\sqrt{3}qBl}{3m}$．
（2）勻強電場的場強為$\frac{\sqrt{3}qBl}{6m}$．

點評 本題考查了帶電粒子在復合場中的運動，關鍵作出粒子運動的軌跡，掌握處理圓周運動和類平拋運動的方法，結合幾何關系和圓周運動的半徑公式進行求解．