Question

18．如圖所示，在xOy坐標系中，y軸的左側(cè)的空間中有范圍最夠大的勻強磁場，其磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，y軸的右側(cè)存在與水平方向呈30°的斜向左上方的勻強電場，質(zhì)量為m、電量為q的帶負電粒子α從x負半軸上的P點以速度v與x軸負半軸方向呈60°射入勻強磁場，經(jīng)過y軸上的Q點（圖中為畫出）后逆著電場線方向進入右側(cè)的勻強電場，質(zhì)量、電量相同的帶正電粒子b從P點以某一速度與x軸正方向成60°射入勻強磁場，經(jīng)y軸后垂直于電場方向射入右邊的勻強電場中，不計兩粒子間的庫侖力和兩粒子的重力，求：

（1）P點到O點的距離；
（2）帶電粒子b的初速度；
（3）要使兩帶電粒子在Q點相遇，兩粒子從P點射出的時間之差為△t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出a粒子在磁場中運動圓周運動的半徑，再由幾何關系求P、O間的距離．
（2）畫出b粒子的運動軌跡，由幾何知識求出其軌跡半徑，即可由牛頓第二定律求其初速度．
（3）先根據(jù)軌跡的圓心角求出兩個粒子在磁場中的運動時間．b粒子進入電場后做類平拋運動，a做勻加速直線運動，根據(jù)類平拋運動和勻加速直線運動的位移公式和位移列式求出它們在電場中的運動時間，即可求得時間差．

解答 解：（1）對于a粒子，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，則 R=$\frac{mv}{qB}$
畫出a粒子的運動軌跡，如圖，由幾何知識可得 $\overline{PO}$=Rcos30°+Rsin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R=$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qB}$
（2）據(jù)題可知b粒子射入電場時速度與x軸正方向的夾角為60°，則知b粒子從O點射入電場，畫出b粒子的運動軌跡，由幾何知識得：
  2rcos30°=$\overline{PO}$
可得 r=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$R=$\frac{（\sqrt{3}+3）mv}{6qB}$
設b粒子的初速度為v′，由r=$\frac{mv′}{qB}$得 v′=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$v
（3）a粒子在磁場中運動時間為 t_a=$\frac{150°}{360°}$T=$\frac{5}{12}$T，T=$\frac{2πm}{qB}$
b粒子在磁場中運動時間為 t_b=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$T．
Q與O間的距離為 $\overline{QO}$=Rcos30°+Rsin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R
b粒子在電場中做類平拋運動，則：
垂直于電場線方向，有 $\overline{QO}$cos30°=v′t_b′
聯(lián)立得 t_b′=$\frac{3R}{2v}$=$\frac{3（\sqrt{3}+1）m}{4qB}$
故兩粒子從P點射出的時間之差為△t=t_b+t_b′-t_a=$\frac{3+3\sqrt{3}+π}{4}$$•\frac{m}{qB}$
答：
（1）P點到O點的距離為$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qB}$；
（2）帶電粒子b的初速度為$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$v；
（3）要使兩帶電粒子在Q點相遇，兩粒子從P點射出的時間之差為△t為$\frac{3+3\sqrt{3}+π}{4}$$•\frac{m}{qB}$．

點評 本題考查帶電粒子在場中兩種運動模型：勻速圓周運動、類平拋運動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，做題時一邊分析一邊畫出運動軌跡，畫的運動軌跡盡量精確最好．