Question

5．有一顆行星，它的質量和半徑都是地球的一半．試求：
（1）該行星第一宇宙速度為多大？
（2）環(huán)繞這顆行星表面運行的人造衛(wèi)星的向心加速度是多大？
（3）在這顆行星表面將某一物體以19.6m/s的速度豎直上拋，物體經(jīng)多長時間又落回到行星表面？

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=ma$，解出速度、加速度與軌道中心天體的質量和半徑的關系，再根據(jù)已知的比值計算大�。�
（3）求出星球表面重力加速度，根據(jù)豎直上拋基本公式求解時間．

解答 解：（1）第一宇宙速度是在星球表面繞星球做勻速圓周運動的速度，在星球表面有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，則$\frac{v}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{M}_{星}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{星}}}=1$，而v_地=7.9km/s，所以該行星第一宇宙速度v=v_地=7.9km/s，
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$得：
a=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，則$\frac{a}{g}=\frac{{M}_{星}{{R}_{地}}^{2}}{{M}_{地}{{R}_{星}}^{2}}=2$，而g=9.8m/s²，所以環(huán)繞這顆行星表面運行的人造衛(wèi)星的向心加速度a=19.6m/s²，
（3）這顆行星表面重力加速度a=19.6m/s²，
則這顆行星表面將某一物體以19.6m/s的速度豎直上拋，回到星球表面的時間t=$\frac{2{v}_{0}}{a}=\frac{2×19.6}{19.6}=2s$
答：（1）該行星第一宇宙速度為7.9km/s；
（2）環(huán)繞這顆行星表面運行的人造衛(wèi)星的向心加速度是19.6m/s²；
（3）在這顆行星表面將某一物體以19.6m/s的速度豎直上拋，物體經(jīng)2s又落回到行星表面．

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，要能夠根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式，難度適中．