Question

如圖，水平地面上方有一絕緣彈性豎直薄檔板，板高h(yuǎn)=3m，與板等高處有一水平放置的小籃筐，筐口的中心距擋板s=1m．整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，而勻強(qiáng)電場(chǎng)未在圖中畫(huà)出；質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C的帶電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），自擋板下端的左側(cè)以某一水平速度v₀開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若小球與檔板相碰后以原速率彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中．（g取10m/s²，可能會(huì)用到三角函數(shù)值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的可能最大速率；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的可能最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故電場(chǎng)力與重力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當(dāng)小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運(yùn)動(dòng)半徑最大，根據(jù)幾何關(guān)系求解出半徑，然后求解最大速度；
（3）要求最小速度，需求最小半徑，畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到半徑的可能值，然后求解速度．

解答：解：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則
qE=mg        
故E=

mg

q

=10N/C
電場(chǎng)方向豎直向下
（2）若小球速率最大，則運(yùn)動(dòng)半徑最大，
如軌跡①所示

R

2 1

=s2+(h-R1)2
可得：R1=

5

3

m
由qv1B=m

v 2 1

R1

  
?v1=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因?yàn)樗俣确较蚺c半徑垂直，圓心必在擋板所在的豎直線(xiàn)上．
      
且R≥s=1m
小球與擋板碰撞n次后落入筐中，則有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保證小球落入筐中
①當(dāng)n=0時(shí)，即為（2）問(wèn)中的解
②當(dāng)n=1時(shí)，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，運(yùn)動(dòng)軌跡如由圖中②所示
或者R3=

5

4

m，運(yùn)動(dòng)軌跡如由圖中③所示
以軌跡③運(yùn)動(dòng)，小球所花時(shí)間最長(zhǎng) 
則有
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，軌跡③運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角α=360°+（180°-53°）=487°
運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為t=

α

360°

T=

974

360

πs≈8.5s
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E=10N/C，電場(chǎng)方向豎直向下；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的可能最大速率為

5

3

m/s；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的可能最長(zhǎng)時(shí)間為8.5s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到向心力來(lái)源，畫(huà)出軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，再聯(lián)立方程組求解．