Question

11．北京正負(fù)電子對撞機(jī)是國際上唯一高亮度對撞機(jī)，它主要由直線加速器、電子分離器、環(huán)形儲存器和對撞測量區(qū)組成，圖甲是對撞測量區(qū)的結(jié)構(gòu)圖，其簡化原理如圖乙所示：MN和PQ為足夠長的水平邊界，豎直邊界EF將整個區(qū)域分成左右兩部分，Ⅰ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，Ⅱ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里．調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可以使正負(fù)電子經(jīng)過兩區(qū)域，在測量區(qū)內(nèi)平行于EF方向上進(jìn)行對撞．經(jīng)加速后的電子以相同速率分別從注入口C和D同時入射，入射方向平行EF且垂直磁場．已知注入口C、D到EF的距離均為d，邊界MN和PQ的間距為12（$\sqrt{2}$-1）d，正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，所帶電荷量分別為+e和-e．

（1）試判斷從注入口C、D入射的分別是哪一種電子；
（2）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為B，正負(fù)電子以v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率同時入射，則正負(fù)電子經(jīng)過多長時間相撞？
（3）若正負(fù)電子仍以v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率同時入射，欲確保正負(fù)電子不從邊界MN或PQ射出，實(shí)現(xiàn)對撞，求Ⅱ區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B_Ⅱ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由左手定則可判定電子的電性；
（2）做出電子射入后的軌跡，由洛倫茲力提供向心力結(jié)合周期公式和數(shù)學(xué)知識聯(lián)立解得相撞時間；
（3）做出示意圖，由洛倫茲力提供向心力結(jié)合數(shù)學(xué)知識得出磁感強(qiáng)度的通式，要保證對撞，正負(fù)電子的軌跡既不能超過上下邊界，又不能彼此相切，找到需滿足的條件，求出B_Ⅱ最小值．

解答 解：（1）由左手定則可知，從C入射的為正電子，從D入射的為負(fù)電子；
（2）如圖所示

電子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域中運(yùn)動時半徑相同，
由牛頓第二定律得：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{0}}$，
因v=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$
解得：r₀=（2-$\sqrt{2}$）d，
由cosα=$\frac{d-{r}_{0}}{{r}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：α=45°，
$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{r_0}=（\sqrt{2}-1）d$，
粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
對撞時間：t=$\frac{1}{2}•\frac{12（\sqrt{2}-1）d}{x}•\frac{3}{8}$T=$\frac{9πm}{2eB}$；
（3）粒子運(yùn)動軌跡如圖所示：

由幾何關(guān)系，$x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{R_3}＞{R_3}$①
根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，則有，$q{B_3}{v_2}=m\frac{v_2^2}{R_3}$②
解得：R₃=5（2-$\sqrt{2}$）d（不滿足②式，舍去）
將①式換為：12（$\sqrt{2}$-1）d=4x+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}{R}_{3}$
解得：R₃=2（2-$\sqrt{2}$）d
B₃=$\frac{B}{2}$
答：（1）從C入射的為負(fù)電子，從D入射的為正電子；
（2）則正負(fù)電子經(jīng)過$\frac{9πm}{2eB}$時間相撞；
（3）Ⅱ區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B_Ⅱ的最小值$\frac{B}{2}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在組合場中的運(yùn)動問題，首先要運(yùn)用動力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運(yùn)動，常常運(yùn)用運(yùn)動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運(yùn)動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．