Question

3．如圖1所示為一種電磁裝置，由粒子源、加速電場、偏轉電場、勻強磁場組成．在S點有一粒子源，能不斷釋放電量為q，質量為m的靜止帶電粒子，被加速電壓為U，極板間距離為d的勻強電場加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強偏轉電場（偏轉電場中場強隨時間變化如圖2所示），偏轉極板長度和極板距離均為L，帶電粒子在偏轉電場中一次偏轉后即進入一個垂直紙面方向的勻強磁場，其磁感應強度為B．若不計重力影響，欲使帶電粒子通過某路徑返回S點，求：
（1）粒子進入磁場時速度大�。�
（2）勻強磁場的寬度D至少為多少？
（3）該帶電粒子周期性運動的周期T是多少？偏轉電壓正負極多長時間變換一次方向？

Answer 1

分析 （1）對在加速電場中運用動能定理，結合在偏轉電場中做類平拋運動求出偏轉位移的大小和偏轉角，對整個過程運用動能定理，求出粒子進入磁場的速度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，結合幾何關系求出勻強磁場的最小寬度．
（3）粒子在加速電場中勻加速直線勻加速直線運動，在偏轉電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，結合運動學公式和推論以及在磁場中運動的周期公式求出帶電粒子的周期T．偏轉電壓正負極變換一次方向的時間等于粒子在磁場中運動的時間．

解答 解：（1）如圖所示，電場對粒子加速，由動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=qU$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
由于粒子在電場加速過程中做勻加速直線運動，則加速的時間：
${t}_{1}=\fracnp731lv{\frac{{v}_{0}}{2}}=\frac{2d}{{v}_{0}}$，
粒子在偏轉電場中做類平拋運動，其加速度為：a=$\frac{qU}{mL}$，
粒子通過偏轉電場的時間為：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$，
粒子在偏轉電場中的側移距離為：
$y=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}=\frac{L}{4}$
側向速度為：${v}_{y}=a{t}_{2}=\sqrt{\frac{qU}{2m}}$，
則粒子射出偏轉電場時的速度為：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
（2）以速度v進入磁場做勻速圓周運動，設半徑為R，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}$，
則磁場寬度D為：$D=R+\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}+\sqrt{\frac{5mU}{2q{B}^{2}}-\frac{{L}^{2}}{16}}$，
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為：$T′=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
tanθ=$\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{4}}=2$，
得：θ=arctan2
所以粒子在磁場中運動的時間為：${t}_{3}=\frac{T′（2π-2θ）}{2π}=\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
粒子從S出發(fā)回到S的周期為：T=2t₁+2t₂+t₃=$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
偏轉電壓正負極換向實際t為：
t=$\frac{T}{2}$=$2m\sqrt{\frac{m}{2qU}}+L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{m（π-arctan2）}{qB}$．
答：（1）粒子進入磁場時速度大小為$\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
（2）勻強磁場的寬度D至少為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}+\sqrt{\frac{5mU}{2q{B}^{2}}-\frac{{L}^{2}}{16}}$．
（3）該帶電粒子周期性運動的周期T是$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，偏轉電壓正負極$2m\sqrt{\frac{m}{2qU}}+L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{m（π-arctan2）}{qB}$時間變換一次方向．

點評 本題考查了粒子在電場中和磁場中的運動問題，關鍵作出粒子的軌跡，知道粒子在加速電場中做勻加速直線運動，在偏轉電場中做類平拋運動，在勻強磁場中做圓周運動，結合動能定理和運動學公式進行求解．