Question

回旋加速器以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，寬度為d，兩側(cè)為相同勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量m電量+q的帶電粒子，以初速度V₁垂直邊界射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，后第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)…，粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中不斷交替運(yùn)動(dòng)．已知粒子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，…以此類推．則（　　）

• A．粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)電場(chǎng)力做功W1=

  3

  2

  m

  v

  2 1

• B．粒子第三次經(jīng)過磁場(chǎng)洛侖茲力做功W3=

  7

  2

  m

  v

  2 1

• C．粒子第五次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E5=

  9m v 2 1

  2qd

• D．粒子第七次經(jīng)過電場(chǎng)所用時(shí)間t7=

  2d

  13v1

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程的末速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁．
（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)和穿出電場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)的加速度，由（2）結(jié)論，由速度公式求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n．

解答：解：A、設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑為R_n，速度為v_n，
      由牛頓第二定律得
          qvnB=m

vn2

Rn

①
       解得：v_n=

BqRn

m

…②
       因?yàn)镽₂=2R₁，
       所以V₂=2v₁…③
      對(duì)粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程，
      由動(dòng)能定理得W₁=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²…④
      聯(lián)立③④式得W₁=

3

2

m

v

2 1

…⑤，故A正確；
      B、洛侖茲力的方向始終指向圓心，所以洛倫茲力不做功，故B錯(cuò)誤；
      C、粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為v_n，穿出電場(chǎng)時(shí)速度為v_n+1，
        由題意知  V_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥
        由動(dòng)能定理得
        qE_nd=

1

2

m_n+1²-

1

2

mv_n²…⑦
      聯(lián)立⑥⑦式得
        E_n=

(2n+1)mv12

2qd

…⑧
     當(dāng)n=5時(shí)，E5=

11m v 2 1

2qd

，故C錯(cuò)誤；
     D、設(shè)粒子第n次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，
      由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨
      由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v_n+1-v_n=a_nt_n…⑩
      聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩式得
     t_n=

2d

(2n+1)v1

     當(dāng)n=7時(shí)，t7=

2d

15v1

，故D錯(cuò)誤．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是求功常用的方法．