Question

【題目】如圖所示，在坐標系內，時，一質量為的小球以的正方向速度開始運動，與0點間連接著一勁度系數為，原長的彈簧，且，現有一小狗從點出發(fā)，追球，且追蹤時線路滿足如下規(guī)律：（出發(fā)時）

（1）任意時刻，狗、球、三點共線

（2）任意時刻，狗、球的速度滿足：

（下標中，分別表示速度在，方向上的分量）試求：狗追上球的軌跡方程和時間

Answer 1

【答案】詳情見解析

【解析】

首先，我們確定的運動軌跡．

如圖甲所示分解力，則，

故在、方向上均做簡諧運動，可設

則，其中，設為

代入初始條件，則，；，

設，故球軌跡為，為一橢圓

現在我們將新建一坐標，使得新舊坐標滿足關系，

故在中軌跡為一圓，且，

另外，在新坐標下的速度與舊坐標的關系為，

而由題意有

則，所以，

而在系中，狗、球、三點共線，則，故，

所以，

所以中，狗、球、依然共線

即在新坐標系中，問題轉化為球沿以為圓心，為半徑的圓周做勻速圓周運動，而狗以相同速率去追球，且保證狗、球、三點共線，我們進行小量分析，設時刻，狗在的位置，此極坐標是以為極點，為極軸建立的，則如圖所示．

設．

故而

令，則，

而，所以，

開始時，，所以，，即（這是極坐標下圓的方程）

從而在中，狗的軌跡方程為

故在中，狗的軌跡方程為，其中

從而易知