Question

6．某工地某一傳輸工件的裝置可簡化為如圖所示的情形，AB為一段足夠長的曲線軌道，BC為一段足夠長的水平軌道，CD為一段$\frac{1}{4}$圓弧軌道，圓弧半徑r=1m，三段軌道均光滑．一長為L=2m、質(zhì)量為M=1kg的平板小車最初停在BC軌道的最左端，小車上表面剛好與AB軌道相切，且與CD軌道最低點(diǎn)處于同一水平面．一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m=2kg的工件從距AB軌道最低點(diǎn)h高處沿軌道自由滑下，滑上小車后帶動(dòng)小車也向右運(yùn)動(dòng)，小車與CD軌道左端碰撞（碰撞時(shí)間極短）后即被粘在C處．工件只有從CD軌道最高點(diǎn)飛出，才能被站在臺(tái)面DE上的工人接住．工件與小車的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，取g=10m/s²，

（1）要使工件能到達(dá)CD軌道，h不能超過多少？
（2）要使工件能被站在臺(tái)面DE上的工人接住，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于BC軌道足夠長，要使工件能到達(dá)CD軌道，工件與小車必須能達(dá)共速，根據(jù)動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律求出滑上小車的初速度大小，根據(jù)機(jī)械能守恒求出下滑的高度．
（2）要使工件能從CD軌道最高點(diǎn)飛出，h=3m為其從AB軌道滑下的最大高度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律求出最小高度，從而得出高度的范圍．

解答 解：（1）由于BC軌道足夠長，要使工件能到達(dá)CD軌道，工件與小車必須能達(dá)共速，設(shè)工件剛滑上小車時(shí)的速度為v₀，工件與小車達(dá)共速時(shí)的速度為v₁，假設(shè)工件到達(dá)小車最右端才與其共速，規(guī)定向右為正方向，則對(duì)于工件與小車組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v₁              ①
由能量守恒定律得：
$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{1}}^{2}$             ②
對(duì)于工件從AB軌道滑下的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$                  ③
代入數(shù)據(jù)解得：h=3m．
（2）要使工件能從CD軌道最高點(diǎn)飛出，h=3m為其從AB軌道滑下的最大高度，設(shè)其最小高度為h′，剛滑上小車的速度為v₀′，與小車達(dá)共速時(shí)的速度為v₁′，剛滑上CD軌道的速度為v₂′，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀′=（m+M）v₁′⑦
由能量守恒定律得：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}-\frac{1}{2}M{v}_{1}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}{′}^{2}$            ⑧
工件恰好滑到CD軌道最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{2}{′}^{2}=mgr$             ⑨
工件在AB軌道滑動(dòng)的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
$mgh′=\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$             ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩，代入數(shù)據(jù)解得：$h′=\frac{18}{7}m$．
綜上所述，要使工件能到達(dá)CD軌道最高點(diǎn)，應(yīng)使h滿足$\frac{18}{7}m＜h≤3m$．
答：（1）要使工件能到達(dá)CD軌道，h不能超過3m．
（2）h的取值范圍為$\frac{18}{7}m＜h≤3m$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，難度較大．