Question

如圖甲所示，MN、PQ為水平放置的足夠長的平行光滑導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距L為0.5m，導(dǎo)軌左端連接一個(gè)2Ω的電阻R，將一根質(zhì)量m為0.4kg的金屬棒c d垂直地放置導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的電阻r大小為0.5Ω，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，整個(gè)裝置放在磁感強(qiáng)度B為1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下，現(xiàn)對(duì)金屬棒施加一水平向右的拉力F，使棒從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)棒的速度達(dá)到1m/s時(shí)，拉力的功率為0.4w，此刻t=0開始計(jì)時(shí)并保持拉力的功率恒定，經(jīng)一段時(shí)間金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度，在該段時(shí)間內(nèi)電流通過電阻R做的功為1.2J．試求：
（1）金屬棒的穩(wěn)定速度；
（2）金屬棒從開始計(jì)時(shí)直至達(dá)到穩(wěn)定速度所需的時(shí)間；
（3）在乙圖中畫出金屬棒所受拉力F隨時(shí)間t變化的大致圖象；
（4）從開始計(jì)時(shí)直至達(dá)到穩(wěn)定速度過程中，金屬棒的最大加速度為多大？并證明流過金屬棒的最大電量不會(huì)超過2.0C．

Answer 1

分析：（1）在拉力的功率保持恒定后，金屬棒先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，最后做勻速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到穩(wěn)定．由拉力和安培力平衡求出穩(wěn)定時(shí)速度．
（2）拉力所做的功等于內(nèi)能與動(dòng)能的增加量，則由能量守恒可求得時(shí)間；拉力功率一定后，拉力和安培力對(duì)棒做功，拉力的功由W=Pt列出，由電阻R的電功求出總電功，由動(dòng)能定理求出時(shí)間．
（3）當(dāng)棒的速度達(dá)到1m/s時(shí)，拉力的功率為0.4w，此后外力功率恒定，速度繼續(xù)增大，根據(jù)P=Fv可知，外力F在逐漸減小，當(dāng)安培力和外力F相等時(shí)，速度達(dá)到最大，之后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，外力保持不變，
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律可求得平均電動(dòng)勢(shì)，則由Q=It可求得電量的最大值．

解答：解：（1）E=BLv，
I=

BLv

R+r

，
F_安=BIL=

B2L2v

R+r

當(dāng)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，F(xiàn)_安=F_拉
F=

P

v

所以v²=

P(R+r)

B2L2

，代入數(shù)據(jù)得v=2m/s 
（2）由題意得：W_R=1.2J，
根據(jù)串聯(lián)電路中功率與電阻成正比得：Wr=0.3J，W_電=1.5J        
對(duì)金屬棒有動(dòng)能定理得：Pt-W_電=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²   
代入數(shù)據(jù)得 t=5.25s 
（3）當(dāng)棒的速度達(dá)到1m/s時(shí)，拉力的功率為0.4w，此后外力功率恒定，速度繼續(xù)增大，根據(jù)P=Fv可知，外力F在逐漸減小，當(dāng)安培力和外力F相等時(shí)，速度達(dá)到最大，之后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，外力保持不變，由此作圖如圖所示：

（4）根據(jù)（3）分析作出速度圖象如圖所示

t=0時(shí)，由P=Fv得，外力F=

P

v

=

0.4

1

N=0.4N
此時(shí)合外力為F_合=0.4-

B2l2v0

R+r

=0.3N
由圖象可知t=0加速度最大
 由牛頓第二定律得：am=

F合

m

=0.75m/s2 
證明：由a=

△v

△t

得：
開始加速最短時(shí)間：△t=

△v

am

=

4

3

s
金屬棒的最大位移   S_m＜5.25×1+

(5.25+5.25-1.33)×1

2

=9.8m   
流過金屬棒的電量
Q＜

B△S

R+r

=

1×9.8×0.5

2+0.5

C=1.97C＜2.0C
答：（1）金屬棒的穩(wěn)定速度2m/s；
（2）金屬棒從開始計(jì)時(shí)直至達(dá)到穩(wěn)定速度所需的時(shí)間5.25s；
（3）在乙圖中畫出金屬棒所受拉力F隨時(shí)間t變化的大致圖象為：
；
（4）從開始計(jì)時(shí)直至達(dá)到穩(wěn)定速度過程中，金屬棒的最大加速度為0.75m/s²．

點(diǎn)評(píng)：在電磁感應(yīng)中，若為導(dǎo)體切割磁感線，則應(yīng)使用E=BLV；若求電量應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求平均電動(dòng)勢(shì)；并要注意電磁感應(yīng)中的能量關(guān)系．