Question

11．如圖所示，半徑為R的豎直固定光滑圓軌道內(nèi)側底部靜止著一個光滑小球，現(xiàn)給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速度v₀，若v₀大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同．下列說法中正確的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，則小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{2gR}$，則小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$
• C． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，則小球能夠上升的最大高度為2R
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，則小球能夠上升的最大高度為2R

Answer 1

分析 先根據(jù)機械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根據(jù)向心力公式判斷在此位置速度能否等于零即可求解

解答 解：A、當v₀=$\sqrt{gR}$時，根據(jù)機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}=mgh$，解得h=$\frac{R}{2}$，小球上升到高度為$\frac{R}{2}$時速度可以為零，所以小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$．故A正確，B錯誤．
C、設小球恰好運動到圓軌道最高點時在最低點的速度為v₁，在最高點的速度為v₂．
則在最高點，有mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
從最低點到最高點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{5gR}$．
所以${v}_{0}＜\sqrt{5gR}$，不能上升到圓軌道的最高點，會脫離軌道，在最高點的速度不為零．
根據(jù)$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，知h$＜\frac{3}{2}R$．故C錯誤．
D、當${v}_{0}≥\sqrt{5gR}$時，上升的最大高度為2R．故D正確．
故選：AD

點評 本題主要考查了機械能守恒定律在圓周運動中的運用，要判斷在豎直方向圓周運動中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零，難度適中