Question

【題目】物體沿著圓周的運動是一種常見的運動，勻速圓周運動是當中最簡單也是較基本的一種，由于做勻速圓周運動的物體的速度方向時刻在變化，因而勻速周運動仍舊是一種變速運動，具有加速度。

(1)可按如下模型來研究做勻速圓周運動的物體的加速度：設質點沿半徑為r、圓心為O的圓周以恒定大小的速度v運動，某時刻質點位于位置A。經極短時間后運動到位置B，如圖所示，試根據加速度的定義，推導質點在位置A時的加速度的大��；

(2)在研究勻變速直線運動的“位移”時，我們常舊“以恒代變"的思想；在研究曲線運動的“瞬時速度”時，又常用“化曲為直”的思想，而在研究一般的曲線運動時我們用的更多的是一種”化曲為圓”的思想，即對于般的曲線運動，盡管曲線各個位置的彎曲程度不詳，但在研究時，可以將曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看做半徑為某個合適值的圓周運動的部分，進而采用圓周運動的分析方法來進行研究，叫做曲率半徑，如圖所示，試據此分析圖所示的斜拋運動中。軌跡最高點處的曲率半徑；

(3)事實上，對于涉及曲線運動加速度問題的研究中，“化曲為圓”并不是唯的方式，我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式，勻速圓周運動在短時間內可以看成切線方向的勻速運動，法線方向的勻變速運動，設圓弧半徑為R，質點做勻速圓周運動的速度大小為v，據此推導質點在做勻速圓周運動時的向心加速度a。

Answer 1

【答案】(1)或；(2)；(3)

【解析】

(1)當足夠小時，、的夾角就足夠小，角所對的弦和弧的長度就近似相等。因此，

在時間內，所對方向變化的角度為

聯(lián)立可得

代入加速度定義式，以及把代入，可得向心加速度大小的表達式為

上式也可以寫為

(2)在斜拋運動最高點，質點的速度為

可以把質點的運動看成是半徑為的圓周運動，因為質點只受重力，所以根據牛頓第二定律可得

聯(lián)立可得

(3)質點在短時間內將從A以速度v勻速運動到，則

，

由圖可知

聯(lián)立解得

若足夠小，即

所以