Question

4．如圖，太陽系中星體A繞太陽做半徑為R₁的圓周運(yùn)動，星體B作拋物線運(yùn)動，B在近日點(diǎn)處與太陽的相距為R₂=2R₁，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動方向如圖中箭頭所示．設(shè)B運(yùn)動到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動到B與太陽連線上．A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體，其間的質(zhì)量損失可忽略，試證明新星體繞太陽的運(yùn)動軌道為橢圓．

Answer 1

分析 A、B星體靠攏過程中動量守恒，從而求出新星體C的速度，計(jì)算C新星體的機(jī)械能判斷軌道的形狀是否為橢圓．

解答 證明：計(jì)算新星體C的機(jī)械能，設(shè)C距日R₃，三星體速度如圖
在徑向：可以認(rèn)為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動，所以C到太陽的距離為${R}_{3}=\frac{{m}_{A}^{\;}{R}_{1}^{\;}+{m}_{B}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}=\frac{{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}{R}_{1}^{\;}$①
在切向：A、B合并過程中動量也守恒，則有$（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{v}_{C}^{\;}={m}_{A}^{\;}{v}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}{v}_{B}^{\;}$②
研究②中的${v}_{A}^{\;}、{v}_{B}^{\;}$：
因A作圓周運(yùn)動，故${v}_{A}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}^{\;}}}$
所以${v}_{B}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2GM}{2{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}^{\;}}}={v}_{A}^{\;}$
將${v}_{A}^{\;}、{v}_{B}^{\;}$代入②得${v}_{C}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{1}^{\;}}}$③
利用①③C星體的機(jī)械能為
${E}_{C}^{\;}=\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{v}_{C}^{2}-G\frac{M（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{{R}_{C}^{\;}}$
=$\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）\frac{2GM}{{R}_{1}^{\;}}-G\frac{M（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{\frac{{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}{R}_{1}^{\;}}$
=$-\frac{1}{2}G\frac{M{m}_{A}^{\;}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{（{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}）{R}_{1}^{\;}}＜0$
因此，新星體C的軌道為橢圓．

點(diǎn)評 本題難度很大，關(guān)鍵是運(yùn)用了選修3-5知識點(diǎn)動量守恒定律，同學(xué)們平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要學(xué)會構(gòu)建物理模型，記住有用的結(jié)論，本題中動量守恒定律，機(jī)械能、萬有引力定律等知識點(diǎn)，平時(shí)學(xué)習(xí)要各個(gè)擊破．