Question

如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧。投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去。設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時，對管壁的作用力恰好為零。不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變

彈簧的彈性勢能。已知重力加速度為g。求：

質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小v₁;彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p;已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO’在角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在到m之間變化，且均能落到水面。持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

解析：此題考查平拋運動規(guī)律、牛頓運動定律、豎直面內(nèi)的圓周運動、機械能守恒定律等知識點。

（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則

mg=m，①

解得 v₁=_.  ②

(2) 彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有

E_p=mg(1.5R+R)+m v₁²，③

由②③式解得E_p=3mgR。④

（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動。設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，離OO’的水平距離為x₁，由平拋運動規(guī)律有

4.5R=gt²，⑤

x₁=v₁t+R，⑥

由⑤⑥式解得x₁=4R.  ⑦

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為2m/3時，設(shè)其到達(dá)管口C時速度大小為v₂，由機械能守恒定律有

E_p=mg(1.5R+R)+(m) v₂²，⑧

由④⑧式解得v₂=2_.  ⑨

質(zhì)量為2m/3的魚餌落到水面上時，設(shè)離OO’的水平距離為x₂，則x₂=v₂t+R，⑩

由⑤⑨⑩式解得x₂=7R.

魚餌能夠落到水面的最大面積S，S=(πx₂²-πx₁²)= πR²（或8.25πR²）。