Question

宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小得多，飛行器的速率為v₀，小行星的軌道半徑為飛行器的軌道半徑的6倍，有人企圖借助小行星與飛行器的碰撞使飛行器飛出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案:Ⅰ.當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器獲得所需速度，沿圓周軌道的切線方向離開(kāi)軌道.Ⅱ.飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向與小行星在該處的速度方向相同，正好可被小行星碰撞.Ⅲ.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量.(1)通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系.(2)設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)獲得的能量為E₁，如果不采取上述方案而是令飛行器在圓軌道上突然點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，于是飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開(kāi)軌道后直接飛出太陽(yáng)系，采

用這種方法時(shí)，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量的最小值用E₂表示，問(wèn)為多少?(第十七屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題)

Answer 1

(1)略(2)0.71(提示:設(shè)通過(guò)方案I使飛行器的速度由v₀變成u₀，飛行器到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為u，根據(jù)開(kāi)普勒第二定律、能量守恒關(guān)系以及萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，可以用v₀表示u₀和u；再設(shè)小行星運(yùn)行速度為V，運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力，可用v₀，表示V；再根據(jù)碰撞規(guī)律用v₀表示出飛行器與小行星碰后的速度u₁；再根據(jù)能量守恒算出飛行器從小行星的軌道上飛出太陽(yáng)系應(yīng)具有的最小速度u₂；最終得u₂<u₁)