Question

10．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r=0.8m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現(xiàn)一有質量m=2kg可視為質點的小球從軌道ABC上距C點高為H的地方由靜止釋放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球經C處水平進入軌道DEF且能沿軌道運動，H至少要有多高？
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點，求h．
（3）若小球自H=0.6m處靜止釋放，求小球到達F點對軌道的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從ABC軌道下滑，機械能守恒．設到達C點時的速度大小為υ．小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點D必須滿足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，聯(lián)立即可求解H；
（2）小球恰好擊中與圓心等高的E點，根據平拋運動的特點求出C點速度，再根據機械能守恒定律求h；
（3）先根據機械能守恒定律求出到達F點的速度，再根據向心力公式即可求解壓力．

解答 解：（1）小球從ABC軌道下滑，機械能守恒，設到達C點時的速度大小為υ．則：
由機械能守恒定律得
    mgH=$\frac{1}{2}$mv²…①
小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
①、②聯(lián)立并代入數(shù)據得：H≥0.4m
所以H至少要有0.4m高．
（2）若小球恰好擊中與圓心等高的E點，則由平拋運動的規(guī)律得：
豎直方向有：r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：r=v_Ct
由機械能守恒定律有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得 h=0.2m
（3）設小球到達F點的速度為v_F，則由機械能守恒定律得：
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}$mv_F²；
在F點有：N-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：N=75N
根據牛頓第三定律得：小球到達F點時對軌道的壓力大小為75N
答：
（1）若要使小球經C處水平進入軌道DEF且能沿軌道運動，H至少要有0.4m高．
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點，h是0.2m．
（3）若小球自H=0.6m處靜止釋放，小球到達F點對軌道的壓力大小是75N．

點評 本題是圓周運動結合平拋運動的題型，要知道小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，若不滿足，則小球做平拋運動．