Question

2．我國向月球發(fā)射一顆繞月探測衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”，“嫦娥一號(hào)”進(jìn)入月球軌道后，在距離月球表面高為h的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，萬有引力常量為G．
（1）月球質(zhì)量表達(dá)式；
（2）“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期；
（3）若地球半徑為R_地，地球表面的重力加速度為g地，且有R_月=$\frac{{R}_{地}}{4}$，g_月=$\frac{{g}_{地}}{6}$，則近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度與近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的比值約為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，求出月球質(zhì)量的表達(dá)式；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，求出“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期；
（3）根據(jù)重力提供向心力得出速度的表達(dá)式，結(jié)合半徑和重力加速度之比求出近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度與近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的比值．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{{R}_{月}}^{2}}=m{g}_{月}$得，月球的質(zhì)量M=$\frac{{g}_{月}{{R}_{月}}^{2}}{G}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{（{R}_{月}+h）^{2}}=m（{R}_{月}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{GM}}$，
又GM=$g{{R}_{月}}^{2}$，
解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{g{{R}_{月}}^{2}}}$．
（3）根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}$，
因?yàn)?\frac{{R}_{月}}{{R}_{地}}=\frac{1}{4}$，$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}=\frac{1}{6}$，
則$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{1}{24}}$=0.2．
答：（1）月球質(zhì)量表達(dá)式為M=$\frac{{g}_{月}{{R}_{月}}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{g{{R}_{月}}^{2}}}$．
（3）近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度與近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的比值約為0.2．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要推論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．