Question

如圖a所示，傾角為45°、高為h的斜面固定在水平地面上，小球從高為H（2h＞H＞h）的某處自由下落，與斜面碰撞（無能量損失）后做平拋運動．若小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，自由下落的起始點距斜面左端的水平距離x應(yīng)滿足的條件是

 

（用符號表示）；若測得x=1m時，小球平拋運動的水平射程s最大，且水平射程的平方s²與x關(guān)系如圖b所示，則斜面的高h應(yīng)為

 

m．

Answer 1

分析：小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，x最小，根據(jù)平拋運動的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；由圖可知，當x=1m時，s最大，且s²=36m²，所以s=6m，根據(jù)平拋運動的基本公式及動能定理求出s²的表達式，根據(jù)數(shù)學知識求出滿足什么條件時，s最大，從而求解h．

解答：解：小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
水平位移x₁=h-x
豎直位移y=h-x
根據(jù)平拋運動豎直方向做自由落體運動得：
t=

2(h-x) g

所以平拋運動的初速度為v0=

h-x

t

=

h-x

2(h-x) g

小球從釋放到與斜面碰撞的過程中，根據(jù)動能定理得：
mg（H+x-h）=

1

2

mv02
解得：x=h-

4

5

H
當小球正好在斜面底端釋放時，x最大，則x_max=h
所以若小球做平拋運動后能直接落到水平地面上，自由下落的起始點距斜面左端的水平距離x應(yīng)滿足的條件是h＞x＞h-

4

5

H；
由圖可知，當x=1m時，s²=36m²，所以s=6m
則水平方向：s=vt，
豎直方向：h-x=

1

2

gt²，
根據(jù)動能定理得：
2g（H-h+x）=v²，
聯(lián)立解得
s²=4（H-h+x）（h-x）=-4[（h-x）²-H（h-x）+

1

4

H²]+H²=-4[（h-x）-

H

2

]²+H²．
當（h-x）-

H

2

=0時，s²取最大值，s最大值為6m，對應(yīng)的H=6m，斜面的高h=x+

H

2

=4m
故答案為：h＞x＞h-

4

5

H；4

點評：本題主要考查了平拋運動基本公式、動能定理的直接應(yīng)用，要求同學們能結(jié)合數(shù)學知識求解s的最大值，難度適中．