(25分)從赤道上的C點發(fā)射洲際導(dǎo)彈,使之精確地?fù)糁斜睒O點N,要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體,R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時,其能量E與橢圓半長軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量,G為引力常量.
1.假定地球沒有自轉(zhuǎn),求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點C的連線之間的夾角表示).
2.若考慮地球的自轉(zhuǎn),則最小發(fā)射速度的大小為多少?
3.試導(dǎo)出。
解析:
1.這是一個大尺度運動,導(dǎo)彈發(fā)射后,在地球引力作用下將沿橢圓軌道運動.如果導(dǎo)彈能打到N點,則此橢圓一定位于過地心O、北極點N和赤道上的發(fā)射點C組成的平面(此平面是C點所在的子午面)內(nèi),因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi),地心O是橢圓的一個焦點.根據(jù)對稱性,注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等,故所考察橢圓的長軸是過O點垂直CN的直線,即圖上的直線AB,橢圓的另一焦點必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時,物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無窮遠(yuǎn)作為引力勢能的零點)與橢圓半長軸a的關(guān)系為(1)
要求發(fā)射的能量最少,即要求橢圓的半長軸a最短.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知,橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為2a,現(xiàn)C點到一個焦點O的距離是定值,等于地球的半徑R,只要位于長軸上的另一焦點到C的距離最小,該橢圓的半長軸就最小.顯然,當(dāng)另一焦點位于C到AB的垂線的垂足處時,C到該焦點的距離必最小.由幾何關(guān)系可知
(2)
設(shè)發(fā)射時導(dǎo)彈的速度為v,則有
(3)
解(1)、(2)、(3)式得 (4)
因 (5)
比較(4)、(5)兩式得 (6)
代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v=7.2km/s (7)
速度的方向在C點與橢圓軌道相切.根據(jù)解析幾何知識,過橢圓上一點的切線的垂直線,平分兩焦點到該點連線的夾角∠OCP.從圖中可看出,速度方向與OC的夾角
(8)
2.由于地球繞通過ON的軸自轉(zhuǎn),在赤道上C點相對地心的速度為(9)
式中R是地球的半徑,T為地球自轉(zhuǎn)的周期,T=24×3600s=86400s,故
vC=0.46km/s(10)
C點速度的方向垂直于子午面(圖中紙面).位于赤道上C點的導(dǎo)彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度vC,為使導(dǎo)彈相對于地心速度位于子午面內(nèi),且滿足(7)、(8)兩式的要求,導(dǎo)彈相對于地面(C點)的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于vC、方向與vC相反的分速度,以使導(dǎo)彈在此方向相對于地心的速度為零,導(dǎo)彈的速度的大小為
(11)
代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v′=7.4km/s (12)
它在赤道面內(nèi)的分速度與vC相反,它在子午面內(nèi)的分速度滿足(7)、(8)兩式.
3.質(zhì)量為m的質(zhì)點在地球引力作用下的運動服從機械能守恒定律和開普勒定律,故對于近地點和遠(yuǎn)地點有下列關(guān)系式
(13)
(14)
式中v1、v2分別為物體在遠(yuǎn)地點和近地點的速度,r1、r2為遠(yuǎn)地點和近地點到地心的距離.將(14)式中的v1代入(13)式,經(jīng)整理得
(15)
注意到r1+r2=2a (16)
得 (17)
因 (18)
由(16)、(17)、(18)式得 (19)
評分標(biāo)準(zhǔn):(本題25分)
1.14分.(2)式6分,(3)式2分,(6)、(7)式共4分,(8)式2分.
2.6分.(11)式4分,(12)式2分.
3.5分.(13)、(14)式各1分,(19)式3分.
科目:高中物理 來源: 題型:
(14分)谷歌公司日前公布了英國的“街道視圖”,它涵蓋25個城市,包括數(shù)千萬張圖片。數(shù)小時后,網(wǎng)頁的點擊率達(dá)到數(shù)百萬次。它是把衛(wèi)星照片、航空照相和地理信息系統(tǒng)(GIS)布置在一個地球的三維模型上,網(wǎng)友稱作“谷歌地球”。從衛(wèi)星來說,有低軌衛(wèi)星,中軌衛(wèi)星和高軌衛(wèi)星,這三種衛(wèi)星都可以拍攝照片。
現(xiàn)設(shè)有一顆在赤道上方飛行的中軌衛(wèi)星,其軌道半徑為(為地球半徑),已知地球表面的重力加速度為,求:
(1)該衛(wèi)星的運行周期為多少?
(2)若衛(wèi)星的運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,已知地球的自轉(zhuǎn)角速度為,某一時刻該衛(wèi)星通過赤道上某建筑物上方,至少經(jīng)過多長時間它將再次出現(xiàn)在該建筑物上方?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com