Question

13．木星的質(zhì)量是太陽系中質(zhì)量最大的行星，其質(zhì)量相當于地球的1.25×10³倍．由于木星的軌道半徑約為地球軌道半徑的5倍（木星軌道和地球軌道都可近似地看成圓），所以木星上的“一年”比地球上的“一年”大得多．問：
（1）太陽對木星引力是對地球引力的多少倍？
（2）木星和地球繞太陽做圓周運動的向心加速度之比是多少？
（3）木星上的“一年”是地球上的“一年”的多少倍？

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)萬有引力定律列式分析即可；
（2）行星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出加速度表達式分析即可；
（3）行星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出周期表達式分析即可．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律，有：F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
故$\frac{{F}_{木}}{F地}=\frac{{m}_{木}{{r}_{地}}^{2}}{{m}_{地}{{r}_{木}}^{2}}=\frac{1.25×1{0}^{3}}{{5}^{2}}$=50（倍）
（2）萬有引力提供向心力，則：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$
故$\frac{{a}_{木}}{a地}=\frac{{{r}_{地}}^{2}}{{{r}_{木}}^{2}}=\frac{1}{{5}^{2}}=\frac{1}{25}$（倍）
（3）萬有引力提供向心力，則：
$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
得：$\frac{{T}_{木星}}{{T}_{地球}}={（\frac{{r}_{地球}}{{r}_{木星}}）}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{5}^{3}}=5\sqrt{5}$倍 
答：（1）太陽對木星引力是對地球引力的50倍；
（2）木星和地球繞太陽做圓周運動的向心加速度之比是1：25；
（3）木星上的“一年”是地球上的“一年”的5$\sqrt{5}$倍．

點評 本題關(guān)鍵是明確行星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律公式列式后聯(lián)立求解即可．