Question

16．科技館有一套兒童喜愛(ài)的機(jī)械裝置，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如下：傳送帶AB部分水平，其長(zhǎng)度L=1.2m，傳送帶以3m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，大皮帶輪半徑r=0.40m，其下端C點(diǎn)與圓弧軌道DEF的D點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上，E點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧EF對(duì)應(yīng)的圓心角θ=37°且圓弧軌道的半徑R=0.50m，F(xiàn)點(diǎn)和傾斜傳送帶GH的下端G點(diǎn)平滑連接，傾斜傳送帶GH長(zhǎng)為x=4.45m，其傾角θ=37°．某同學(xué)將一質(zhì)量為0.5kg且可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊靜止放在水平傳送帶左端A處，物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后恰能無(wú)碰撞地從D點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道部分，當(dāng)經(jīng)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，然后物塊滑上傾斜傳送帶GH．已知物塊與所有的接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，$\sqrt{7.2}$=2.68，求：
（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角α為多少；
（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳送帶順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件及物塊從G端到H端所用時(shí)間的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體做受力分析可知，物體在傳送帶上在摩擦力的作用下做加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出時(shí)間；
（2）先求出物體在B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的臨界條件，然后對(duì)B點(diǎn)飛出后的平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析可求得DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角α為多少；
（3）結(jié)合向心力的公式，求出物體到達(dá)F點(diǎn)的速度，然后由受力分析求出物體在傾斜的傳送帶上的受力和加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求解．

解答 解：（1）放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：
ma₁=μmg
所以：${a}_{1}=μg=0.5×10=5m/{s}^{2}$
物體加速到3m/s的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{3}{5}=0.6$s
在加速階段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}=0.9$m＜1.2m
物體做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{1.2-0.9}{3}=0.1$s
物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間：t=t₁+t₂=0.6+0.1=0.7s
（2）若物體能在B點(diǎn)恰好離開(kāi)傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，則滿(mǎn)足：
$mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{gr}=10×0.4=2$m/s＜3m/s
所以物體能夠在B點(diǎn)離開(kāi)傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
${t}_{3}=\sqrt{\frac{2×2r}{g}}=\sqrt{\frac{2×2×0.4}{10}}=0.4$s
到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體沿豎直方向的分速度：v_y=gt₃=10×0.4=4m/s
到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物體的速度與水平方向之間的夾角：$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$
所以：α=53°如圖：
即DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角α為53°
（3）當(dāng)經(jīng)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，所以物體在F點(diǎn)受到的支持力：
${F}_{N}=\frac{f}{μ}=\frac{14.5}{0.5}=29$N
物體在F點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的分力提供向心力得：
${F}_{N}-mgcos37°=\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：v₃=5m/s
物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力的作用，滑動(dòng)摩擦力：
f′=μmgcos37°=0.5×0.5×10×0.8=2N
重力沿斜面向下的分力：F_x=mgsin37°=0.5×10×0.6=3N＞f′
可知物體不可能相對(duì)于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運(yùn)動(dòng)．物體恰好到達(dá)H點(diǎn)時(shí)的速度為0．
Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在F點(diǎn)的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運(yùn)動(dòng)；此時(shí)：
ma₃=F_x-f′，${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物體的位移為：$x={v}_{3}t′-\frac{1}{2}{a}_{3}t{′}^{2}$
即：4.45=5t′-$\frac{1}{2}×2×t{′}^{3}$
代入數(shù)據(jù)解得：t′=1.16s，（或t′=3.84s．該時(shí)間不和題意，要舍去）
Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在F點(diǎn)的速度，則物體先相對(duì)于傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，受到的摩擦力的方向向下；當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小發(fā)生變化．
設(shè)物體恰好能到達(dá)H點(diǎn)時(shí)，傳送帶的速度是v_min，且v_min＜v₃，物體到達(dá)H點(diǎn)的速度為0．
物體的速度大于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向下，此時(shí)：
ma₂=f′+F_x=2+3=5N，則：${a}_{2}=\frac{5}{0.5}=10m/{s}^{2}$
物體的速度小于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向上，則：
${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物體向上的減速運(yùn)動(dòng)若反過(guò)來(lái)看，也可以是向下是加速運(yùn)動(dòng)，初速度為0，末速度為v₃，設(shè)下面的一段時(shí)間為t₄，上面的一段時(shí)間為t₅，可得：
v₃t₅=v_min，v_min+a₂t₄=v₃，$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{5}^{2}+（{v}_{3}{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{4}^{2}）=x$
聯(lián)立以上三式，代入數(shù)據(jù)得：t₄=0.1s，t₅=2.0s，v_min=4m/s
物體從F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)的總時(shí)間：t″=t₄+t₅=0.1+2.0=2.1s
綜合以上的分析可知，若要物體能夠到達(dá)H點(diǎn)，傳送帶的速度贏滿(mǎn)足：v≥4m/s，物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是：1.16s≤t≤2.1s．
答：（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時(shí)間是0.7s；
（2）DE弧對(duì)應(yīng)的圓心角α為53°；
（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳送帶順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件是v≥4m/s，物塊從G端到H端所用時(shí)間的取值范圍是：1.16s≤t≤2.1s．

點(diǎn)評(píng) 本題借助于傳送帶問(wèn)題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用、平拋運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，要求能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并能準(zhǔn)確地進(jìn)行受力分析，選擇合適的物理規(guī)律求解．
傳送帶的問(wèn)題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用中比較復(fù)雜的問(wèn)題，該題竟然有兩個(gè)傳送帶，題目的難度太大．