Question

16．一宇航員在月球上以速率v₀豎直上拋一物體，物體上升的最大高度為h，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G，則下列計(jì)算式正確的是（　�。�

• A． 月球繞地球運(yùn)動(dòng)的向心加速度a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• B． 月球的質(zhì)量M=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$
• C． 月球的第一宇宙速度v₁=v₀$\sqrt{\frac{R}{2h}}$
• D． 月球同步衛(wèi)星的高度h₀=$\root{3}{\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$

Answer 1

分析 根據(jù)速度位移公式求出月球表面的重力加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．結(jié)合月球的自轉(zhuǎn)周期，得出同步衛(wèi)星的周期，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出同步衛(wèi)星離地的高度．

解答 解：A、由于月球的軌道半徑、周期均未知，無(wú)法求出月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，故A錯(cuò)誤．
B、月球表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，根據(jù)$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，月球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$，故B正確．
C、根據(jù)mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{2h}}={v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+{h}_{0}）^{2}}=m（R+{h}_{0}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，又GM=gR²，解得月球同步衛(wèi)星的高度${h}_{0}=\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}}}-R$，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．