Question

宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用，設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，試求：
（1）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若實(shí)驗(yàn)觀測得到星體的半徑為R，求星體表面的重力加速度；
（3）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析：（1）星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于正方形對角線的一半．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，求出星體表面的重力加速度．
（3）在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)F合=mr(

2π

T

)2，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：（1）由星體均圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
   r=

2

2

a
（2）由萬有引力的定律可知
  G

mm′

R2

=m′g
則星體表面的重力加速度
  g=G

m

R2

（3）星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力定律和向心力公式得：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m?

2

2

a

4π2

T2

解得周期T=2πa

(4- 2 )a 7Gm

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．