Question

15．如圖所示，足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，軌道間距為l，其上端接一阻值恒為R的燈泡L．在水平虛線L₁、L₂間有垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d，導(dǎo)體棒a的質(zhì)量為2m、電阻為R；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量為m、電阻為2R，與導(dǎo)軌始終保持良好接觸，它們分別從圖中M、N處同時(shí)由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，且都能勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)．設(shè)重力加速度為g，不計(jì)a、b棒之間的相互作用，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直．求：
（1）導(dǎo)體棒a、b在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度之比．
（2）求M點(diǎn)距離L₁的高度．
（3）若取走導(dǎo)體棒b，將a固定在L₂處，使磁感應(yīng)強(qiáng)度從B₀隨時(shí)間均勻減小，設(shè)燈泡額定電壓為U，為保證燈泡不會(huì)燒壞且有電流通過(guò)，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度減小到零的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，由平衡條件求出導(dǎo)體棒的速度，然后求出導(dǎo)體棒速度之比．
（2）導(dǎo)體棒做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出高度．
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，然后求出最短時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小為v_b，
此時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E₁=Blv_b，
回路中總電阻：R₁=$\frac{5}{2}$R，
b中的電流：I_b=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}$，
b受到的安培力：F=BI_bl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_}{{R}_{1}}$，
b勻速運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，
由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_}{{R}_{1}}$=mg，
當(dāng)a棒切割磁感線時(shí)，回路中總電阻：R₂=$\frac{5}{3}$R，
同理可得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{a}}{{R}_{2}}$=2mg，
由以上各式得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}$=$\frac{4}{3}$；
（2）設(shè)b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)b進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，a、b速度大小均為v_b；
當(dāng)a進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，a速度大小為v_a，可得：v_a=v_b+gt，
B在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)：d=v_bt，
由（1）可知：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}$=$\frac{4}{3}$，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v_a²=2gL₁，解得：L₁=$\frac{8}{3}$d；
（3）經(jīng)時(shí)間t，磁感應(yīng)強(qiáng)度從B₀均勻減小到零
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$ld=$\frac{{B}_{0}}{t}$ld，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{2R}$，
聯(lián)立上式得：I=$\frac{{B}_{0}ld}{2Rt}$，
保證燈不燒壞，電流的最大植為：I_m=$\frac{U}{R}$，
當(dāng)電流最大時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)間最短：t_min=$\frac{{B}_{0}ld}{2R{I}_{m}}$=$\frac{{B}_{0}ld}{2U}$；
答：（1）導(dǎo)體棒a、b在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度之比為4：3．
（2）求M點(diǎn)距離L₁的高度為$\frac{8}{3}$d．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度減小到零的最短時(shí)間為$\frac{{B}_{0}ld}{2U}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)、電路與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵知道導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和安培力平衡，本題的難點(diǎn)在于通過(guò)a、b棒的速度關(guān)系以及a、b距離虛線L₁的高度比求出a、b距離虛線L₁的高度．