Question

6．一轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖所示，四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球及一小環(huán)通過鉸鏈連接，輕桿長均為l，球和環(huán)的質(zhì)量均為m，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上，套在轉(zhuǎn)軸上的輕質(zhì)彈簧連接在O與小環(huán)之間，原長為L，裝置靜止時(shí)，彈簧長為$\frac{3}{2}$L，轉(zhuǎn)動(dòng)該裝置并緩慢增大轉(zhuǎn)速，小環(huán)緩慢上升，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）AB桿中彈力為零時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀；
（3）彈簧長度從$\frac{3}{2}$L緩慢縮短為$\frac{1}{2}$L的過程中，外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置所做的功W．

Answer 1

分析 （1）裝置靜止時(shí)，分別對(duì)小環(huán)和小球分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，結(jié)合胡克定律求出彈簧的勁度系數(shù)；
（2）當(dāng)AB桿彈力為零時(shí)，對(duì)小環(huán)分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡和胡克定律求出彈簧的長度，對(duì)小球分析，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀；
（3）彈簧長度從$\frac{3}{2}$L緩慢縮短為$\frac{1}{2}$L的過程中，抓住彈簧的彈性勢(shì)能不變，彈力不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合小環(huán)平衡和小球豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力，求出外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置所做的功W．

解答 解：（1）裝置靜止時(shí)，設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F₁、T₁，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ₁，
小環(huán)受到彈簧的彈力${F}_{彈1}=k\frac{L}{2}$，
小環(huán)受力平衡，F(xiàn)_彈1=mg+2T₁cosθ₁，
小球受力平衡，F(xiàn)₁cosθ₁+T₁cosθ₁=mg，F(xiàn)₁sinθ₁=T₁sinθ₁，
解得k=$\frac{4mg}{L}$．
（2）設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F₂、T₂，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ₂，彈簧長度為x．
小環(huán)受到彈簧的彈力F_彈2=k（x-L），
小環(huán)受力平衡，F(xiàn)_彈2=mg，解得x=$\frac{5}{4}L$，
對(duì)小球，F(xiàn)₂cosθ₂=mg，${F}_{2}sin{θ}_{2}=m{{ω}_{0}}^{2}lsin{θ}_{2}$，且$cos{θ}_{2}=\frac{x}{2l}$，
解得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{8g}{5L}}$．
（3）彈簧長度為$\frac{1}{2}L$時(shí)，設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F₃、T₃，OA桿與彈簧的夾角為θ₃，
小環(huán)受到的彈力${F}_{彈3}=\frac{1}{2}kL$，
小環(huán)受力平衡，2T₃cosθ₃=mg+F_彈3，且cosθ₃=$\frac{L}{4l}$，
對(duì)小球，F(xiàn)₃cosθ₃=T₃cosθ₃+mg，${F}_{3}sin{θ}_{3}+{T}_{3}sin{θ}_{3}=m{{ω}_{3}}^{2}lsin{θ}_{3}$，
解得${ω}_{3}=\sqrt{\frac{16g}{L}}$．
整個(gè)過程中彈簧彈性勢(shì)能變化為零，則彈力做功為零，由動(dòng)能定理得，
$W-mg（\frac{3L}{2}-\frac{L}{2}）-2mg（\frac{3L}{4}-\frac{L}{4}）$=$2×\frac{1}{2}m（{ω}_{3}lsin{θ}_{3}）^{2}$，
解得W=$mgL+\frac{16mg{l}^{2}}{L}$．
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{4mg}{L}$；
（2）裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$；
（3）外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置所做的功為$mgL+\frac{16mg{l}^{2}}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、共點(diǎn)力平衡和胡克定律的運(yùn)用，當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，抓住小環(huán)平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．