Question

14．為了研究過山車的原理，某興趣小組設(shè)計(jì)了過山車模型如圖所示，取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為l=2.0m的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，軌道半徑R=0.5m，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段，其他各段阻力可忽略不計(jì)．其中當(dāng)物體經(jīng)過AB與BC的連接點(diǎn)時(shí)沒有機(jī)械能損失，已知小物塊與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小物塊剛好能夠通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)，求小物塊通過圓弧最低點(diǎn)C時(shí)的速度v_c；
（2）若將該小物塊從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，也剛好能夠通過圓軌道的最高點(diǎn)，求拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度h．

Answer 1

分析 （1）恰好通過圓弧最高點(diǎn)時(shí)在最高點(diǎn)的速度滿足v=$\sqrt{gR}$根據(jù)動(dòng)能定理求解即可；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理先求得小物塊在A點(diǎn)的速度大小，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解拋出點(diǎn)距A點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）小物塊剛好過豎直圓軌道的最高點(diǎn)，則可知在最高點(diǎn)小物塊的速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}m/s$
從C到最高點(diǎn)過程中根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得${v}_{C}=\sqrt{{v}^{2}+2g•2R}$=$\sqrt{5+2×10×2×0.5}m/s=5m/s$
（2）能通過豎直圓軌道最高點(diǎn)，小物塊運(yùn)動(dòng)到C時(shí)速度滿足v_C=5m/s，小物塊從A到B過程中由動(dòng)能定理有：
$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得${v}_{A}=\sqrt{{v}_{C}^{2}-2gLsin37°+2μgLcos37°}$=3m/s
物體水平拋出后沿AB方向進(jìn)入A，根據(jù)平拋知識(shí)可知，進(jìn)入A點(diǎn)時(shí)小物塊在豎直方向的速度v_Ay=v_Asin37°=3×0.6m/s=1.8m/s
根據(jù)動(dòng)能定理可知mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{Ay}^{2}-0$
可得h=$\frac{{v}_{Ay}^{2}}{2g}=\frac{1．{8}^{2}}{2×10}m=0.162m$
答：（1）若小物塊剛好能夠通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)，小物塊通過圓弧最低點(diǎn)C時(shí)的速度v_c為5m/s；
（2）若將該小物塊從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，也剛好能夠通過圓軌道的最高點(diǎn)，拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度h為0.162m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住小球能過豎直平面最高點(diǎn)的臨界條件根據(jù)動(dòng)能定理求解，注意與平拋知識(shí)的結(jié)合．