Question

如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)o的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與od邊的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿od方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方形邊長(zhǎng)L，粒子重力不計(jì)，求：
（1）粒子的比荷q/m；
（2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0～180°范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

Answer 1

（1）初速度沿od方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其園心為n，由幾何關(guān)系有：sin∠onp=

L 2

L

=

1

2

，所以∠onp=

π

6

，又t0=

T

12

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得Bqv=mr(

2π

T

)

2

，又v=

2πr

T

聯(lián)立得

q

m

=

π

6Bt0

即粒子的比荷為

π

6 Bt 0

．
（2）依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到o點(diǎn)距離相等，在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以o為圓心，op為半徑的弧pw上，如圖所示．
由圖知tan∠nop=

L 2

L-：Lcos π 6

=2+

3

，解得∠nop=

5π

12

，所以∠pow=

5π

6

，N=

5π 6

π

=

5

6

即此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5：6
（3）由幾何知識(shí)可知在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則：sin

θ

2

=

L 2 +( L 2 ) 2

2L

=

5

4

，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：t=

θ

2π

T=

12arcsin 5 4

π

t0
故從粒子發(fā)射到全部離開磁場(chǎng)所用時(shí)間為：t=

12arcsin 5 4 π t

0

．