Question

宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行.設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m.

(1)試求第一種形式下,星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期.

(2)假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同,第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少?

Answer 1

解析:(1)對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況,以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有:

      

    F₁+F₂=mv²/R                            ①

    運(yùn)動(dòng)星體的線速度:           ②

    周期為T,則有:                  ③

                             ④

(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r,則三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 (如下圖所示)  ⑤

    由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其他兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供.由力的合成和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有:

                         ⑥

                            ⑦

    由④⑤⑥⑦式得:.

答案:(1),  (2)