Question

16．游樂(lè)場(chǎng)中有一類似于過(guò)山車的設(shè)施．簡(jiǎn)易模型如圖所示，它由傾角為α=37°的光滑斜面軌道、水平軌道和豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道組成，A、B分別是斜面與圓形軌道的最低點(diǎn)（且A處有一極小光滑圓弧與軌道相切），A、B兩點(diǎn)相距L=4.25m．一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從斜面上距A點(diǎn)h=4.05m高處由靜止下滑，小球與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，不考慮斜面軌道與圓形軌道相互重疊時(shí)對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的影響，sin37°=0.6，g取lOm/s²．求：
（1）若圓形軌道的半徑R=l.0m，則小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小及對(duì)軌道的壓力大小：
（2）欲使小球不脫離軌道，在圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑應(yīng)滿足的條件和小球最終停留點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，運(yùn)用動(dòng)能定理求出最高點(diǎn)時(shí)的速度，并利用牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球作用力；
（2）知道小球恰能通過(guò)圓形軌道的含義，再應(yīng)用動(dòng)能定理研究整個(gè)過(guò)程求出兩種情況下的問(wèn)題，再求小球最終停留點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理，有mgh-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=8.0m/s
由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=7.4N
由牛頓第三定律得，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小${F}_{N}^{′}$=F_N=7.4N
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種臨界情況進(jìn)行討論：
Ⅰ．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)圓形軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v，應(yīng)滿足
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
由功能關(guān)系得：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₁+$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)解得：R₁=1.28m
Ⅱ．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₂，
根據(jù)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₂
代入數(shù)據(jù)解得：R₂=3.2 m
綜合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脫離軌道，則圓形軌道的半徑須滿足下面的條件
0＜R≤1.28 m或R≧3.2m
當(dāng)0＜R≤1.28 m時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為L(zhǎng)'，則：-μmgL′=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：L'=16.0 m
當(dāng)R≧3.2m時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為L(zhǎng)″，則
L″=L-（L'-3L）=1.0 m
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為8.0m/s；對(duì)軌道的壓力大小為7.4N；
（2）欲使小球不脫離軌道，在圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑應(yīng)滿足的條件是0＜R≤1.28 m或R≧3.2m；小球最終停留點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為1.0 m．

點(diǎn)評(píng) 選取研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過(guò)圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．