Question

8．科研人員利用電場和磁場控制帶電粒子的運動，從而來進行粒子分選，其原理如圖所示：真空環(huán)境中，由a、b、c、d四個平行界面分隔出的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域，寬度均為L=0.12m．讓包含兩種不同的帶正電粒子組成的粒子束，從界面a上的P點以速度v₀=5×10²m/s垂直界面射入區(qū)域Ⅰ，兩種粒子帶電量均為q=1×10^-6C，質量分別為m₁=3×10^-10kg和m₂=4×10^-10kg．若在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ分別加上垂直紙面、方向相反、磁感應強度大小均為B=1T的勻強磁場，粒子能分成兩束從界面d出射；若在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ分別加上與界面平行、方向相反的勻強電場，粒子也能分成兩束從界面d出射．不計粒子重力．
（1）求加磁場時兩種粒子在界面d上出射點之間的距離
（2）若加電場時兩種粒子在界面d上出射點之間的距離與加磁場時相等，求電場強度的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做圓周運動離開磁場做勻速直線運動再進入磁場反方向做圓周運動，首先求出粒子做圓周運動的半徑，根據半徑求出粒子作圓周運動所對的圓心角，根據幾何知識求出粒子在豎直方向距初始位置的距離；
（2）粒子在電場中做曲線運動，把曲線運動分解為水平和豎直方向的直線運動，水平方向勻速直線，豎直方向先加速后勻速最后減速，根據直線運動公式，求出粒子在豎直方向距初始位置的距離；

解答 解：（1）粒子運動軌跡如圖所示，粒子1進入磁場由$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
此圓弧所對圓心角的正弦值為：$sin{θ}_{1}=\frac{0.12}{0.15}=0.8$，
由幾何知識可知，在Ⅰ區(qū)域內豎直方向偏轉位移為：h₁=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子進入區(qū)域Ⅱ做勻速直線運動，入射角與水平方向夾角為53°
由幾何知識可知，豎直方向位移為：h₂=Ltan53°=0.16m
進入區(qū)域Ⅱ由半徑仍為：${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
由幾何知識可知，豎直方向位移為：h₃=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子1在豎直方向總位移為：H₁=h₁+h₂+h₃=0.28m
同理粒子2在豎直方向總位移為：H₂=0.17m
△H=H₁-H₂=0.11m
（2）若在區(qū)域Ⅰ、Ⅲ加入電場，則粒子在水平方向做勻速直線運動，有：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.12}{5×1{0}^{2}}=2.4×1{0}^{-4}$
粒子1在區(qū)域Ⅰ中豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，
豎直方向末速度為：${v}_{t1}=at=\frac{Eq}{{m}_{1}}t$，
粒子豎直方向位移為：${x}_{1}=\frac{0+{v}_{t1}}{2}t$
在區(qū)域Ⅱ中粒子在豎直方向做勻速直線運動，故粒子在豎直方向位移為：x₂=v_t1t
在區(qū)域Ⅲ中粒子在豎直方向做初速度為${v}_{{t}_{1}}$，末速度為0的勻減速直線運動，故粒子在豎直方向位移為：
${x}_{3}=\frac{{v}_{t1}+0}{2}t$
${x}_{總1}={x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=2{v}_{t1}t=2\frac{Eq}{{m}_{1}}{t}^{2}$
同理可得：${x}_{總2}=2\frac{Eq}{{m}_{2}}{t}^{2}$
△H=x_總1-x_總2=0.11m
解得：E=1.1458×10³V/m
答：（1）求加磁場時兩種粒子在界面d上出射點之間的距離為0.11m；
（2）若加電場時兩種粒子在界面d上出射點之間的距離與加磁場時相等，求電場強度的大小為1.1458×10³V/m．

點評 帶電粒子在組合場中的運動問題，首先分析出粒子的運動情況．對于磁場中的圓周運動，要正確畫出軌跡，用幾何知識求解．當粒子在電場中運動時，曲線運動需分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學公式結合求解；