Question

一皮帶傳動裝置如圖所示，皮帶的速度v足夠大.一根質量不計、勁度系數為k的彈簧一端固定，另一端連接一個質量為m的滑塊，已知滑塊與皮帶間的動摩擦因數為μ.當滑塊放到皮帶上時，彈簧的軸線恰好水平，若滑塊放到皮帶上的瞬間，滑塊的速度為零，且彈簧正好處于自由長度，則當彈簧第一次伸長到最大時，滑塊與皮帶間所產生的熱量是多少？

Answer 1

μmg(vπ-2μmg/k)

由于皮帶的速度v足夠大，故以皮帶為參考系，滑塊始終是向右運動，滑塊所受到的滑動摩擦力方向始終是向左的.滑塊實際上是向左運動，只要彈簧對它的拉力小于摩擦力，滑塊是加速運動，當彈簧對它的拉力大于摩擦力，滑塊做減速運動，當滑塊的速度減小到零時，彈簧的伸長量最大，以后，滑塊在彈簧拉力和摩擦力的作用下向右運動.由于滑塊在運動過程中所受到的摩擦力的大小和方向都不變，故此滑塊在皮帶上的運動類似于豎直的彈簧振子，此處的摩擦力相當于豎直彈簧振子的重力，所以滑塊的運動是一個簡諧運動.其振幅為A=μmg/k，彈簧伸長的最大長度也就是滑塊運動的位移（對地）為：
s=2A=2μmg/k
滑塊在這段位移是所經歷的時間為：
Δt=T/2=π
滑塊在皮帶上相對路徑為：
Δl=vΔt-s=vπ-2μmg/k
所以，在這段時間內產生的熱量，即：
Q=μmgΔl=μmg(vπ-2μmg/k).