Question

如圖所示，兩塊足夠大的平行金屬板a、b豎直放置，板間有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩板距離為d，今有一帶正電微粒從a板下邊緣以初速度v₀豎直向上射入板間，當(dāng)它飛到b板時(shí)，速度大小不變，而方向變?yōu)樗�平方向，且剛好從高度也為d的狹縫穿過b板而進(jìn)入bc區(qū)域，bc區(qū)域的寬度也為d，所加電場(chǎng)大小為E，方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

E

v0

，方向垂直紙面向里．求：
（1）微粒的帶電量q；
（2）微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L（用d表示）；
（3）微粒在ab、bc區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t（用d、v₀表示）．

Answer 1

分析：（1）將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住等時(shí)性求出微粒的帶電量．
（2）根據(jù)第一問可知，粒子電場(chǎng)力和重力平衡，則粒子在bc區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L．
（3）根據(jù)粒子在ab區(qū)域內(nèi)水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平均速度公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，通過粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．

解答：解：（1）微粒在電場(chǎng)中受水平向右的電場(chǎng)力和豎直向下的重力，其運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直方向的勻變速運(yùn)動(dòng)．
水平方向上的加速度a=

qE

m

，
又

v0

g

=

v0

a

解得q=

mg

E

．
（2）微粒進(jìn)入bc區(qū)域中由于電場(chǎng)力與重力平衡，微粒在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
qv0B=m

v02

r

又B=

E

v0

，d=

v02

2g

得圓周半徑r=2d
微粒剛進(jìn)入bc時(shí)洛倫茲力方向向上，逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，軌跡如圖所示，設(shè)圓心角為θ，有幾何關(guān)系得，
sinθ=

d

r

=

1

2

，即θ=30°．
微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L=d+r(1-cos30°)=(3-

3

)d．
（3）微粒在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=

2d

v0

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

rθ

v0

=

πd

3v0

在ab、bc區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=t1+t2=

(π+6)d

3v0

．
答：（1）微粒的帶電量q=

mg

E

．
（2）微粒穿出bc區(qū)域的位置到a板下邊緣的豎直距離L=(3-

3

)d．
（3）微粒在ab、bc區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=

(π+6)d

3v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)正交分解為直線運(yùn)動(dòng)來研究，而粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和電場(chǎng)力平衡，洛侖茲力提供向心力，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．