Question

回旋加速器在核科學(xué)、核技術(shù)、核醫(yī)學(xué)等高新技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，有力地推動(dòng)了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展．
（1）當(dāng)今醫(yī)學(xué)成像診斷設(shè)備PET/CT堪稱(chēng)“現(xiàn)代醫(yī)學(xué)高科技之冠”，它在醫(yī)療診斷中，常利用能放射電子的同位素碳11為示蹤原子，碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氮14獲得，同時(shí)還產(chǎn)生另一粒子，試寫(xiě)出核反應(yīng)方程．若碳11的半衰期τ為20min，經(jīng)2.0h剩余碳11的質(zhì)量占原來(lái)的百分之幾？（結(jié)果取2位有效數(shù)字）
（2）回旋加速器的原理如圖，D₁和D₂是兩個(gè)中空的半徑為R的半圓金屬盒，它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上，位于D₁圓心處的質(zhì)子源A能不斷產(chǎn)生質(zhì)子（初速度可以忽略，重力不計(jì)），它們?cè)趦珊兄�間被電場(chǎng)加速，D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．若質(zhì)子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率為P，求輸出時(shí)質(zhì)子束的等效電流I與P、B、R、f的關(guān)系式（忽略質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，其最大速度遠(yuǎn)小于光速）
（3）試推理說(shuō)明：質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)質(zhì)量數(shù)守恒和核電荷數(shù)守恒書(shū)寫(xiě)核反應(yīng)方程式．根據(jù)半衰期的定義寫(xiě)成剩余質(zhì)量和總質(zhì)量的關(guān)系式即可求解．
（2）根據(jù)電流的定義式I=

Q

t

和Q=Nq以及P=

N 1 2 mv2

t

求解．
（3）求出r_k所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)和r_k+1所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)即可求出它們所對(duì)應(yīng)的軌道半徑，然后作差即可求出r_k和r_k+1，從而求出△r_k，運(yùn)用同樣的方法求出△r_k+1，比較△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答：解：（1）核反應(yīng)方程為₇¹⁴N+₁¹H→₆¹¹C+₂⁴He…①
設(shè)碳11原有質(zhì)量為m₀，經(jīng)過(guò)t=2.0h剩余的質(zhì)量為m_t，根據(jù)半衰期定義，有：

mt

m0

=(

1

2

)

t

τ

=(

1

2

)

120

20

=1.6%…②
（2）設(shè)質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q，質(zhì)子離開(kāi)加速器時(shí)速度大小為v，由牛頓第二定律知：qvB=m

v2

R

…③
質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的回旋周期為：T=

2πR

v

=

2πm

qB

…④
由回旋加速器工作原理可知，交變電源的頻率與質(zhì)子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關(guān)系可得：f=

1

T

…⑤
設(shè)在t時(shí)間內(nèi)離開(kāi)加速器的質(zhì)子數(shù)為N，則質(zhì)子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率P=

N? 1 2 mv2

t

…⑥
輸出時(shí)質(zhì)子束的等效電流為：I=

Nq

t

…⑦
由上述各式得I=

P

πBR2f

（3）方法一：
設(shè)k（k∈N^*）為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U，
由動(dòng)能定理知2qU=

1

2

m

v

2 k+1

-

1

2

m

v

2 k

…⑧
由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，知rk=

mvk

qB

，
則2qU=

q2B2

2m

(

r

2 k+1

-

r

2 k

)…⑨
整理得 △rk=

4mU

qB2(rk+1-rk)

…⑩
因U、q、m、B均為定值，令C=

4mU

qB2

，由上式得△rk=

C

rk+rk+1

…（11）
相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 △rk=

C

rk+1+rk+2

因?yàn)閞_k+2＞r_k，比較△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
說(shuō)明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小
方法二：
設(shè)k（k∈N*）為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U
由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，知rk=

mvk

qB

，故

rk

rk+1

=

vk

vk+1

…（12）
由動(dòng)能定理知，質(zhì)子每加速一次，其動(dòng)能增量△E_k=qU  …（13）
以質(zhì)子在D₂盒中運(yùn)動(dòng)為例，第k次進(jìn)入D₂時(shí)，被電場(chǎng)加速（2k-1）次
速度大小為vk=

(2k-1)2qU m

…（14）
同理，質(zhì)子第（k+1）次進(jìn)入D₂時(shí)，被電場(chǎng)加速（2k+1）次，速度大小為vk+1=

(2k+1)2qU m

綜合上述各式可得

rk

rk+1

=

vk

vk+1

=

2k-1 2k+1

整理得

r 2 k

r 2 k+1

=

2k-1

2k+1

，

r 2 k+1 - r 2 k

r 2 k+1

=

2

2k+1

△rk=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+rk+1)

同理，對(duì)于相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2，△r_k+1=r_k+2-r_k+1，整理后有
△rk+1=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+1+rk+2)

由于r_k+2＞r_k，比較△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
說(shuō)明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小，用同樣的方法也可得到質(zhì)子在D₁盒中運(yùn)動(dòng)時(shí)具有相同的結(jié)論．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，對(duì)△r_k和△r_k+1，即可得出答案．