Question

【題目】我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了關(guān)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間萬(wàn)有引力的大小是：F=．但是，在某些特殊情況下，非質(zhì)點(diǎn)之間的萬(wàn)有引力計(jì)算及其應(yīng)用的問(wèn)題，我們可以利用下面兩個(gè)已經(jīng)被嚴(yán)格證明是正確的結(jié)論，而獲得快速有效地解決：

a．若質(zhì)點(diǎn)m放置在質(zhì)量分布均勻的大球殼M（球殼的厚度也均勻）的空腔之內(nèi)，那么m和M之間的萬(wàn)有引力總是為零．

b．若質(zhì)點(diǎn)m放置在質(zhì)量分布均勻的大球體M之外（r≥r0），那么它們之間的萬(wàn)有引力為：F=，式中的r為質(zhì)點(diǎn)m到球心之間的距離; r0為大球體的半徑．

假設(shè)地球可視為一個(gè)質(zhì)量分布均勻且密度為ρ的球體，通過(guò)地球的南北兩極之間能夠打通一個(gè)如圖所示的真空小洞．若地球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，把一個(gè)質(zhì)量為m的小球從北極的洞口由靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，小球能夠在洞內(nèi)運(yùn)動(dòng)．

（1）求：小球運(yùn)動(dòng)到距地心為0.5R處的加速度大小a；

（2）證明：小球在洞內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（3）求：小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度vm．

Answer 1

【答案】（1） （2） 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（3）

【解析】

解：（1）根據(jù)題意可知，小球距離地心為r=0.5R處萬(wàn)有引力大小

又

由牛頓第二定律可知

三式聯(lián)立可得：

（2）假設(shè)小球相對(duì)于球心的位移是x，則有：

又

兩式聯(lián)立可得：

考慮萬(wàn)有引力F的方向總是指向地心，即F的方向和小球相對(duì)于地心的位移x的方向總是方向相反的， 若令 ：

則有：

結(jié)論：小球在洞內(nèi)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．

（3） 由可知，從洞口到地心，小球的萬(wàn)有引力大小F是隨著做功的距離線性減少的

所以

所以