Question

如圖所示的坐標(biāo)系xoy中，M、P為與x軸垂直放置的足夠大平板，其中M板位于x=0處．P為感光板位于x=2d處，N為位于x=d處的與P板平行的界面．位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的粒子源，可以向xov平面內(nèi)y軸右側(cè)的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q、速率均相同的帶正電粒子，在d≤x≤2d的區(qū)域內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．粒子源沿x軸方向射出的粒子恰好打不到P上，不計(jì)粒子重力
（1）求從粒子源射出的粒子速率v₀．
（2）若在M、N之間加上水平向有的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=

3qdB2

2m

，則感光板p上被粒子打中區(qū)域的長度多大？

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．對(duì)于沿x軸方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好不能打到ab板上，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ab板相切，由幾何知識(shí)確定半徑，然后由牛頓第二定律求出軌跡半徑．
（2）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功都相同，為qEd，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度大小，即得到粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小；
沿y軸正方向和負(fù)方向射出的粒子在電場(chǎng)中均做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子經(jīng)過電場(chǎng)后的速度偏轉(zhuǎn)角以及豎直方向的位移；由牛頓第二定律求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，然后由幾何關(guān)系求出粒子打到板上形成亮線的長度．

解答：解：（1）設(shè)從粒子源射出時(shí)粒子的速率為v₀，沿x軸方向射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，恰好打不到P上，由幾何關(guān)系知，
運(yùn)動(dòng)的半徑R₀=d
根據(jù)牛頓第二定律得：qv₀B=m

v02

R

解得：v₀=

qBd

m

（2）U_MN=Ed=

3qB2d2

2m

，設(shè)粒子到達(dá)N面時(shí)速率為v，
根據(jù)動(dòng)能定理得：qU_MN=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
即每個(gè)粒子通過N面后的速度均為v=2v₀
分別沿+y和-y方向射出的粒子經(jīng)過N上的C、D處時(shí)，速度方向改變的角度θ滿足：
cosθ=

v0

v

得：θ=

π

3

C、D之間的距離為：
2△y=2v₀t
而d=

1

2

qE

m

t²
整理得：2△y=

4

3

d
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，
qvB=m

v2

R

得：R=2d
經(jīng)過C、D處的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡示意如圖
又幾何關(guān)系知△y_c=

3

d
△y_D=2d-

3

d
粒子打在P上區(qū)域的長度為：L=2△y+△y_c+△y_D=（

4 3

3

+2）d
答：（1）求從粒子源射出的粒子速率v₀為

qBd

m

；
（2）若在M、N之間加上水平向有的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=

3qdB2

2m

，則感光板p上被粒子打中區(qū)域的長度為（

4 3

3

+2）d．

點(diǎn)評(píng)：本題是電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是分析臨界情況，當(dāng)粒子恰好打不到P上時(shí)，其軌跡恰好與ab板相切，這是經(jīng)常用到的臨界條件，再由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出亮線的長度．