Question

如圖所示，一質(zhì)量為M的小車(chē)靜止在光滑水平面上，水平面左右兩側(cè)均為固定的豎直墻壁，左側(cè)與一光滑固定的1/4圓弧相連，半徑R＝0.8 m，圓弧底端切線水平且與車(chē)的上表面平齊，將一質(zhì)量為m的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從圓弧頂端由靜止釋放后滑下，滑塊與車(chē)的上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.3，已知M＝3m，小車(chē)所在的水平面足夠長(zhǎng)(即滑塊與小車(chē)的速度相同前小車(chē)不會(huì)與墻壁相碰)，且小車(chē)每次與墻壁的碰撞都不損失機(jī)械能(取g＝10 m/s²)．求：
(1)小車(chē)第一次與墻壁相碰前的速度．
(2)要保證滑塊始終不從車(chē)上掉下來(lái)，車(chē)長(zhǎng)至少為多少？

Answer 1

解：(1)滑塊下滑到圓弧底端時(shí)速度設(shè)為v₀，第一次與墻壁碰撞前共同速度設(shè)為v₁
根據(jù)機(jī)械能守恒：mgR＝mv₀² ①
滑塊在車(chē)上滑動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀＝(m＋M)v₁ ②
又由題意知：M＝3m ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)解得：v₁＝1 m/s
即小車(chē)第一次與墻壁相碰撞前的速度為1 m/s
(2)設(shè)小車(chē)第一次與墻壁相碰撞前滑塊在車(chē)上相對(duì)滑過(guò)的距離設(shè)為l₁，根據(jù)能量守恒有：
μmgl₁＝mv₀²－(m＋M)v₁² ④
小車(chē)第一次與墻壁碰后反向向左運(yùn)動(dòng)，二者共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度設(shè)為v₂
在此過(guò)程中，車(chē)與滑塊系統(tǒng)動(dòng)量守恒：Mv₁－mv₁＝(M＋m)v₂ ⑤
設(shè)此過(guò)程中滑塊相對(duì)小車(chē)向右滑動(dòng)的距離為l₂
根據(jù)能量守恒有：μmgl₂＝(m＋M)v₁²－(m＋M)v₂² ⑥
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，此后小車(chē)與墻壁兩側(cè)分別碰撞后，滑塊與小車(chē)系統(tǒng)損失的機(jī)械能逐次減少，相對(duì)滑過(guò)的距離也減小，而且相對(duì)滑動(dòng)的方向依次改變，故車(chē)長(zhǎng)至少應(yīng)為l＝l₁＋l₂ ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦并代入數(shù)據(jù)解得：l＝2.5 m