Question

11．在水平放置的兩塊金屬板A、B上加不同電壓，可以使從熾熱的燈絲釋放的電子以不同速度沿直線穿過B板中心的小孔O進(jìn)入寬度為L的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里．若A、B兩板間電壓為U₀時(shí)，電子不能穿過磁場區(qū)域而打在B板延長線上的P點(diǎn)，如圖所示．已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，并設(shè)電子離開A板時(shí)的初速度為零．
（1）求A、B兩板間的電壓為U_o時(shí)，電子穿過小孔O的速度大小v_o；
（2）求P點(diǎn)距小孔O的距離x；
（3）若改變A、B兩板間的電壓，使電子穿過磁場區(qū)域并從邊界MN上的Q點(diǎn)射出，且從Q點(diǎn)射出時(shí)速度方向偏離V_o方向的角度為θ，則A、B兩板間電壓U為多大？

Answer 1

分析 （1）電子在AB板間電場中加速時(shí)，電場力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿過小孔O的速度大小v₀；
（2）電子進(jìn)入磁場后由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．電子打在P點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓．根據(jù)牛頓第二定律求出軌跡半徑，P點(diǎn)距小孔D的距離x等于直徑．
（3）從Q點(diǎn)穿出時(shí)電子速度方向偏離v₀方向的角度為θ，則軌跡的圓心角等于θ，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由根據(jù)牛頓第二定律求出電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出AB間的電壓U．

解答 解：（1）電子在AB板間電場中加速時(shí)，
由動(dòng)能定理得：eU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）電子進(jìn)入磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{e}}$，則：x=2r=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{e}}$．
（3）若在A、B兩板間加上電壓U時(shí)，電子在AB板間加速后穿過B板進(jìn)入磁場區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)，
并從邊界MN上的Q點(diǎn)穿出，由動(dòng)能定理可得：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系可知：rsinθ=L，
解得：U=$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2msi{n}^{2}θ}$．
答：（1）A、B兩板間的電壓為U_o時(shí)，電子穿過小孔O的速度大小v_o為$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）P點(diǎn)距小孔O的距離x為$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{e}}$；
（3）A、B兩板間電壓U為$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2msi{n}^{2}θ}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，先加速后偏轉(zhuǎn)是常見的類型，難點(diǎn)是畫出磁場中軌跡，由幾何知識求半徑．