Question

1．在光滑水平面上有間距為d的兩平行板AB，板B附近的一個小球（可視為質(zhì)點），質(zhì)量為m，t=0時刻受外力作用由靜止開始運動，如圖甲（該圖為俯視圖）．外力隨時間變化規(guī)律如圖乙所示，取圖甲中x方向為正向，其正向外力為F₀，反向外力為-kF₀（k＞1），外力變化的周期為2T．若整個運動過程中，小球未碰到板A

（1）若k=2，小球在0-2T時間內(nèi)不能到達板A，求d應(yīng)滿足的條件；
（2）若小球在0-200T時間內(nèi)未碰到板B，求199T-200T過程中小球速度v隨時間t變化的關(guān)系；
（3）若小球在第N個周期內(nèi)的位移為零，求k的值．

Answer 1

分析 （1）電子在0～τ時間內(nèi)做勻加速運動，在τ～2τ時間內(nèi)先做勻減速運動，后反向做初速度為零的勻加速運動，電子不能到達極板A的條件為電子運動位移之和小于板間距離
（2）電子2n～（2n+1）τ時間內(nèi)向下勻加速直線運動，在（2n+1）～2（n+1）τ時間內(nèi)做向下做勻減速直線運動，求出一個電壓變化周期內(nèi)電子速度的增量，再求任意時間電子的速度隨時間的變化規(guī)律
（3）電子在第N個周期內(nèi)的位移是在2（N-1）τ～（2N-1）τ時間內(nèi)的位移與電子在（2N-1）τ～2Nτ時間內(nèi)的位移的矢量和，求出表達式，利用位移為零得到k的表達式

解答 解：（1）先勻加速運動具有${a}_{1}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$，再勻減速運動，具有${a}_{2}^{\;}=-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}=-\frac{2{F}_{0}^{\;}}{m}$．
在$0-\frac{3}{2}T$內(nèi)正向運動，有$x=\frac{{a}_{1}^{\;}T}{2}×\frac{3T}{2}＜d$，
故$d＞\frac{3{F}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$
（2）在199T--200T的過程中，未到達A板，有100T加速度為${a}_{1}^{\;}$，99T加速度為${a}_{2}^{\;}$．（t-199T）加速度${a}_{2}^{\;}$．
$v=100T{a}_{1}^{\;}+99T{a}_{2}^{\;}+（t-199T）{a}_{2}^{\;}$，其中${a}_{1}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$，${a}_{2}^{\;}=-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}$，
代入解得$v=（1+k）\frac{100{F}_{0}^{\;}}{m}T-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}t$
（3）第N個周期初速度為${v}_{0}^{\;}$，則${v}_{0}^{\;}=（N-1）{a}_{1}^{\;}T+（N-1）{a}_{2}^{\;}T$，前半個周期位移
${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}T+\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}$，后半個周期位移${x}_{2}^{\;}=（{v}_{0}^{\;}+{a}_{1}^{\;}T）T+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}$．而${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=0$
代入解得$k=\frac{4N-1}{4N-3}$
答：（1）若k=2，小球在0-2T時間內(nèi)不能到達板A，求應(yīng)滿足的條件$d＞\frac{3{F}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$；
（2）若小球在0-200T時間內(nèi)未碰到板B，199T-200T過程中小球速度v隨時間t變化的關(guān)系$v=（1+k）\frac{100{F}_{0}^{\;}}{m}T-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}t$；
（3）若小球在第N個周期內(nèi)的位移為零，k的值$\frac{4N-1}{4N-3}$

點評 電子在交變電場中的變加速運動問題是考察的熱點，重要的是分析清楚電子的運動情景，同時這種問題運算量較大，過程較為復(fù)雜，給學(xué)生造成較大的難度．