Question

8．如圖甲所示，小軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上，在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)在半徑為R的圓形區(qū)域加有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置．它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速為v₀的帶電粒子，已知重力加速度大小為g．
（1）當(dāng)帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時(shí)，這些帶電微粒將沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑方向離開磁場(chǎng)，并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xoy平面內(nèi)不斷地以相同速率v₀沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第1象限，如圖乙所示．現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則在保證勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)的強(qiáng)度及方向不變的條件下，應(yīng)如何改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布區(qū)域？并求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；由幾何關(guān)系確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng)，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的圓方程，最后求出最小面積．

解答 解：（1）帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)后，最終沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑離開磁場(chǎng)并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，
則帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡．設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得：mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，電場(chǎng)方向沿y軸正方向；
帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且圓運(yùn)動(dòng)半徑r=R．
設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外．
（2）設(shè)由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，
則θ滿足0≤θ＜$\frac{π}{2}$，由于帶電微粒最終將沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，
故B應(yīng)垂直于xoy平面向外，帶電微粒在磁場(chǎng)內(nèi)做半徑為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由于帶電微粒的入射方向不同，若磁場(chǎng)充滿紙面，
它們所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

為使這些帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．
由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng)．
這樣磁場(chǎng)邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）應(yīng)滿足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁場(chǎng)邊界的方程為：
x²+（y-R）²+R²
由題中0≤θ＜$\frac{π}{2}$的條件可知
以θ→$\frac{π}{2}$的角度射入磁場(chǎng)區(qū)域的微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡
（x-R）²+y²=R²
即為所求磁場(chǎng)的另一側(cè)的邊界．
因此，符合題目要求的最小磁場(chǎng)的范圍應(yīng)是圓
x²+（y-R）²=R²與圓（x-R）²+y²=R²的
交集部分（圖中陰影部分）．
由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場(chǎng)的最小面積為：
S_min=（$\frac{π}{2}$-1）$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$=（$\frac{π}{2}$-1）R²．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{mg}{q}$方向沿y軸正方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，方向垂直紙面向外．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布區(qū)域如圖所示，求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為（$\frac{π}{2}$-1）R²．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是由數(shù)學(xué)知識(shí)求滿足條件的磁場(chǎng)區(qū)域與最小面積，平時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．